Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Taylorpolynom $ [mm] T^3_{f,a} [/mm] $ vom Grad 3 im Entwicklungspunkt a = $ [mm] (0,0)^{T} [/mm] $ der Funktion
$ [mm] f:\IR^2 \to \IR, (x,y)^{T} \mapsto \bruch{(x^3 + y^2 + 1)^2}{1 - sin(xy)} [/mm] $ |
Hi Matheraum,
eigentlich weiß ich, wie man das Taylorpolynom einer mehrdim. Funktion berechnet (denke ich zumindest), aber hier komme ich nicht weiter.
"Normalerweise" bestimmt man ja die (in diesem Fall) ersten 3 Ableitungen und schreibt die entsprechenden Koeffizienten [mm] (\bruch{1}{2!}, \bruch{1}{3!},...) [/mm] davor.
Jetzt hab ich hier angefangen die ersten Ableitungen zu bilden:
[mm] f_{x}=\bruch{(6x^5 + 6x^2y^2 + 6x^2)\cdot(1-sin(xy)) + (x^3 + y^2 + 1) \cdot y \cdot cos(xy)}{(1 - sin(xy))^2} [/mm] , [mm] f_{y}=\bruch{(4x^3y + 4y^3 + 4y)\cdot(1-sin(xy)) + (x^3 + y^2 + 1) \cdot x \cdot cos(xy)}{(1 - sin(xy))^2}
[/mm]
Da das eine Klausuraufgabe ist und es ziemlich lange gedauert hat, bis ich die beiden ersten Ableitung bestimmt habe lautet meine Frage, ob es hier nicht einen einfacheren bzw schnelleren Weg gibt.
Ich hab daran gedacht, sin(xy) in seine Produktschreibweise zu schreiben, sehe aber nicht, dass das hier helfen könnte.
Danke für jede Tipp
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Hallo MatheStudi7,
> Bestimme das Taylorpolynom [mm]T^3_{f,a}[/mm] vom Grad 3 im
> Entwicklungspunkt a = [mm](0,0)^{T}[/mm] der Funktion
> [mm]f:\IR^2 \to \IR, (x,y)^{T} \mapsto \bruch{(x^3 + y^2 + 1)^2}{1 - sin(xy)}[/mm]
>
> Hi Matheraum,
>
> eigentlich weiß ich, wie man das Taylorpolynom einer
> mehrdim. Funktion berechnet (denke ich zumindest), aber
> hier komme ich nicht weiter.
>
> "Normalerweise" bestimmt man ja die (in diesem Fall) ersten
> 3 Ableitungen und schreibt die entsprechenden Koeffizienten
> [mm](\bruch{1}{2!}, \bruch{1}{3!},...)[/mm] davor.
>
> Jetzt hab ich hier angefangen die ersten Ableitungen zu
> bilden:
> [mm]f_{x}=\bruch{(6x^5 + 6x^2y^2 + 6x^2)\cdot(1-sin(xy)) + (x^3 + y^2 + 1) \cdot y \cdot cos(xy)}{(1 - sin(xy))^2}[/mm]
> , [mm]f_{y}=\bruch{(4x^3y + 4y^3 + 4y)\cdot(1-sin(xy)) + (x^3 + y^2 + 1) \cdot x \cdot cos(xy)}{(1 - sin(xy))^2}[/mm]
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> Da das eine Klausuraufgabe ist und es ziemlich lange
> gedauert hat, bis ich die beiden ersten Ableitung bestimmt
> habe lautet meine Frage, ob es hier nicht einen einfacheren
> bzw schnelleren Weg gibt.
> Ich hab daran gedacht, sin(xy) in seine
> Produktschreibweise zu schreiben, sehe aber nicht, dass das
> hier helfen könnte.
>
Entwickle
[mm]\bruch{1}{1-\sin\left(x*y\right)}[/mm] in eine geometrische Reihe.
Ersetze dann [mm]\sin^{k}\left(xy\right)[/mm] durch die bekannte Taylorreihe.
> Danke für jede Tipp
Gruss
MathePower
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> Entwickle
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> [mm]\bruch{1}{1-\sin\left(x*y\right)}[/mm] in eine geometrische
> Reihe.
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> Ersetze dann [mm]\sin^{k}\left(xy\right)[/mm] durch die bekannte
> Taylorreihe.
>
Aaah, das ist natürlich clever! Danke MathePower
Also: $ sin(x) = [mm] \summe_{l=1}^{\infty}(-1)^l \cdot \bruch{x^{2l+1}}{(2l+1)!} [/mm] $ und es gilt $ [mm] \bruch{1}{1-sin(xy)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}sin^k(xy) [/mm] $ für $ |sin(xy)| [mm] \le [/mm] 1 $ , also $ xy [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] $
Jetzt rechne ich die ersten 3 (da ja nur das Taylorpolynom bis zum Grad 3 gefragt ist, oder?) Potenzen von $ [mm] sin^k(xy) [/mm] $ aus:
$ [mm] sin^0(xy) [/mm] = 1 $
$ sin(xy) = xy - [mm] \bruch{1}{6}x^3y^3 [/mm] $
$ [mm] sin^2(xy) [/mm] = [mm] x^2y^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x^4y^4 [/mm] + [mm] x^6y^6 [/mm] $
$ [mm] sin^3(xy) [/mm] = [mm] x^3y^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^5y^5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^7y^7 [/mm] - [mm] \bruch{1}{36}x^9y^9 [/mm] $
und addiere nun die Terme deren Grad [mm] \le [/mm] 3 ist, also:
$ [mm] \bruch{1}{1-sin(xy)} \approx [/mm] 1 + xy - [mm] \bruch{1}{6}x^3y^3 [/mm] + [mm] x^2y^2 [/mm] + [mm] x^3y^3 [/mm] = 1 + xy + [mm] x^2y^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{6}x^3y^3 [/mm] $
Jetzt würde ich das Taylorpolynom von $ (1 + xy + [mm] x^2y^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{6}x^3y^3) \cdot (x^3 [/mm] + [mm] y^2 +1)^2 [/mm] $ berechnen.
Ist meine Vorgehensweise soweit korrekt, bzw. macht sie Sinn?
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Entwickle
> >
> > [mm]\bruch{1}{1-\sin\left(x*y\right)}[/mm] in eine geometrische
> > Reihe.
> >
> > Ersetze dann [mm]\sin^{k}\left(xy\right)[/mm] durch die bekannte
> > Taylorreihe.
> >
> Aaah, das ist natürlich clever! Danke MathePower
>
> Also: [mm]sin(x) = \summe_{l=1}^{\infty}(-1)^l \cdot \bruch{x^{2l+1}}{(2l+1)!}[/mm]
Nein, sondern
[mm]sin(x) = \summe_{l=0}^{\infty}(-1)^l \cdot \bruch{x^{2l+1}}{(2l+1)!}[/mm]
> und es gilt [mm]\bruch{1}{1-sin(xy)} = \summe_{k=1}^{\infty}sin^k(xy)[/mm]
Nein, sondern
[mm]\bruch{1}{1-sin(xy)} = \summe_{k=0}^{\infty}sin^k(xy)[/mm]
> für [mm]|sin(xy)| \le 1[/mm]
Nein, sondern
für [mm]|sin(xy)| < 1[/mm]
> , also [mm]xy \le \bruch{\pi}{2}[/mm]
Nein, sondern
[mm]|xy| < \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Jetzt rechne ich die ersten 3 (da ja nur das Taylorpolynom
> bis zum Grad 3 gefragt ist, oder?) Potenzen von [mm]sin^k(xy)[/mm]
> aus:
> [mm]sin^0(xy) = 1[/mm]
> [mm]sin(xy) = xy - \bruch{1}{6}x^3y^3[/mm]
>
> [mm]sin^2(xy) = x^2y^2 - \bruch{1}{3}x^4y^4 + x^6y^6[/mm]
> [mm]sin^3(xy) = x^3y^3 - \bruch{1}{2}x^5y^5 + \bruch{1}{2}x^7y^7 - \bruch{1}{36}x^9y^9[/mm]
>
> und addiere nun die Terme deren Grad [mm]\le[/mm] 3 ist, also:
> [mm]\bruch{1}{1-sin(xy)} \approx 1 + xy - \bruch{1}{6}x^3y^3 + x^2y^2 + x^3y^3 = 1 + xy + x^2y^2 + \bruch{5}{6}x^3y^3 [/mm]
Das ist O.K.
>
> Jetzt würde ich das Taylorpolynom von [mm](1 + xy + x^2y^2 + \bruch{5}{6}x^3y^3) \cdot (x^3 + y^2 +1)^2[/mm]
> berechnen.
>
>
> Ist meine Vorgehensweise soweit korrekt, bzw. macht sie
> Sinn?
Ja
FRED
>
> Ciao
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Ok, ich hätte hier dann raus:
$ [mm] T^3_{f,a} [/mm] = [mm] \bruch{11}{6}x^3y^3 [/mm] + [mm] 2xy^3 [/mm] + [mm] x^2y^2 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] +xy +1 $
Eine Frage habe ich noch: Wenn das Taylorpolynom 3. Grades gesucht wird, heißt das dann, dass die Potenz jeder einzelnen Variable nicht größer als 3 ist, oder dass die Summe der Potenzen in einem Mischterm (zB $ [mm] x^2y^3 [/mm] $ ) nicht größer als 3 sein darf [mm] ($x^2y^3 [/mm] $ wäre hier also nichtmehr dabei, da 2+3>3 ist)?
Ciao
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Hallo MatheStudi7,
> Ok, ich hätte hier dann raus:
> [mm]T^3_{f,a} = \bruch{11}{6}x^3y^3 + 2xy^3 + x^2y^2 + 2x^3 + 2y^2 +xy +1[/mm]
>
Die ersten 3 Summanden sind wegzulassen,
da deren Summe der Exponenten > 3 ist.
> Eine Frage habe ich noch: Wenn das Taylorpolynom 3. Grades
> gesucht wird, heißt das dann, dass die Potenz jeder
> einzelnen Variable nicht größer als 3 ist, oder dass die
> Summe der Potenzen in einem Mischterm (zB [mm]x^2y^3[/mm] ) nicht
> größer als 3 sein darf ([mm]x^2y^3[/mm] wäre hier also nichtmehr
> dabei, da 2+3>3 ist)?
>
Die Summe der Potenzen in einem Mischterm
darf hier nicht größer als 3 sein.
> Ciao
Gruss
MathePower
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