Taylorpolynom - Restglied < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 28.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Also, ich möchte das Taylorpolynom 3. Grades mit Entwicklungspunkt 0 für f(x) := sin(2x) aufstellen und das Restglied nach Lagrange abschätzen. Bei Letzterem habe ich gar keine Ahnung. Nun aber erstmal das, was ich gemacht habe.
Also, ich hab die ersten drei Ableitungen gebildet und das Taylorpolynom nach bekannter Formel gebildet. Das Ergebnis ist dann:
[mm] T_{0,3} [/mm] (x) = 2x + [mm] \bruch{8}{6}x^{3}
[/mm]
So, das Restglied ist definiert als:
[mm] R_{3} [/mm] (x)n := f(x) - [mm] T_{0,3}(x) [/mm]
Und ich glaube, dass dafür die Funktion F(x) 4 mal diffb sein muss. Also
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = -16 sin(2x)
Aber was macht man jetzt? Ich soll das ja abschätzen. Ich verstehe das Restglied wie folgt: Man möchte die Funktion f(x) durch ein Polynom annähern, jedoch bleibt dabei ein restglied über d.h. das Taylorpolynom und f(x) sind nicht immer deckungsgleich. Hmm..aber was nun. Wie schätzt man sowas ab?
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> Hallo. Also, ich möchte das Taylorpolynom 3. Grades mit
> Entwicklungspunkt 0 für f(x) := sin(2x) aufstellen und das
> Restglied nach Lagrange abschätzen. Bei Letzterem habe ich
> gar keine Ahnung. Nun aber erstmal das, was ich gemacht
> habe.
>
> Also, ich hab die ersten drei Ableitungen gebildet und das
> Taylorpolynom nach bekannter Formel gebildet. Das Ergebnis
> ist dann:
>
> [mm]T_{0,3}[/mm] (x) = 2x + [mm]\bruch{8}{6}x^{3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
richtig wäre: [mm]T_{0,3}[/mm] (x) = 2x - [mm]\bruch{8}{6}x^{3}[/mm]
und gekürzt: [mm]T_{0,3}[/mm] (x) = 2x - [mm]\bruch{4}{3}x^{3}[/mm]
>
> So, das Restglied ist definiert als:
>
> [mm]R_{3}[/mm] (x)n := f(x) - [mm]T_{0,3}(x)[/mm]
>
> Und ich glaube, dass dafür die Funktion F(x) 4 mal diffb
> sein muss. Also
> [mm]f^{(4)}(x)[/mm] = -16 sin(2x)
(da hast du den vorigen Vorzeichenfehler mitgeschleppt)
> Aber was macht man jetzt? Ich soll das ja abschätzen. Ich
> verstehe das Restglied wie folgt: Man möchte die Funktion
> f(x) durch ein Polynom annähern, jedoch bleibt dabei ein
> restglied über d.h. das Taylorpolynom und f(x) sind nicht
> immer deckungsgleich. Hmm..aber was nun. Wie schätzt man
> sowas ab?
Hallo SolRakt,
Schau für die Restgliedabschätzung einmal da nach:
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
insbesondere: ![[]](/images/popup.gif) Restgliedformeln
und Restgliedabschätzung
In deinem Beispiel wäre a=0 (Entwicklungsstelle) und
n=3 (Grad des Taylorpolynoms).
Der wichtigste weitere Schritt ist nun die Bestimmung
einer (von r abhängigen) oberen Schranke [mm] M_3 [/mm] mit der
Eigenschaft
[mm] $\left|f^{(4)}(x)\right|\ \le\ M_3$ [/mm] für alle $\ x [mm] \in(0-r,0+r)$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 28.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> richtig wäre:
Stimmt, blöder Vorzeichenfehler
> Schau für die Restgliedabschätzung einmal da nach:
Ich hab schon viel gegoogelt und natürlich auch bei wiki nachgeschaut. Ich schaus mir auch nochmal an. Nur befürchte ich, dass ich das dennoch nicht komplett verstehen werde.
> In deinem Beispiel wäre a=0 (Entwicklungsstelle) und
> n=3 (Grad des Taylorpolynoms).
> Der wichtigste weitere Schritt ist nun die Bestimmung
> einer (von r abhängigen) oberen Schranke mit der
> Eigenschaft
Hmm..also
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = 16 * sin(2x)
Der Sinus ist durch -1 und 1 beschränkt, also sin(2x) [mm] \le [/mm] 1
Kannst mir denn jemand erklären, wie man jetzt weitermachen würde?
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> > In deinem Beispiel wäre a=0 (Entwicklungsstelle) und
> > n=3 (Grad des Taylorpolynoms).
> > Der wichtigste weitere Schritt ist nun die Bestimmung
> > einer (von r abhängigen) oberen Schranke mit der
> > Eigenschaft
>
> Hmm..also
>
> [mm]f^{(4)}(x)[/mm] = 16 * sin(2x)
>
> Der Sinus ist durch -1 und 1 beschränkt, also $\ sin(2x)\ [mm] \le\ [/mm] 1$
Dies ist zwar richtig, aber als Abschätzung in der unmittel-
baren Umgebung von a=0 doch sehr schlecht ...
Viel besser ist für x mit |x|<<1 die Abschätzung
$\ |sin(2x)|\ [mm] \le\ [/mm] |2x|$ .
> Kann mir denn jemand erklären, wie man jetzt
> weitermachen würde?
[mm] M_3 [/mm] bestimmen und mit n=3 in die Formel
$\ [mm] |R_n(x)|\ \le\ M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}$
[/mm]
einsetzen !
LG Al-Chw.
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