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| Aufgabe | Löse die folgende Gleichung näherungsweise:
[mm] cos(x)= \bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2} [/mm]
Tipp: Entwicklen Sie dazu cos(x) in einer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt [mm] x_0== [/mm] bis einschlie?lich vierter Ordnung. |
Taylorreihe:
[mm] f(x)= f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+\bruch{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\bruch{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n [/mm]
[mm] x_0=0
[/mm]
cos(x)= [mm] \bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2}
[/mm]
cos'(x)= -x
cos''(x)= -1
cos'''(x)= 0
cos''''(x)= 0
Ich weiß allerdings nicht genau wie ich ansetzten soll. Kann mir vielleicht jemand helfen?
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Hallo bavarian16,
> Löse die folgende Gleichung näherungsweise:
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> [mm]cos(x)= \bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2}[/mm]
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> Tipp: Entwicklen Sie dazu cos(x) in einer Taylorreihe um
> den Entwicklungspunkt [mm]x_0==[/mm] bis einschlie?lich vierter
> Ordnung.
> Taylorreihe:
> [mm]f(x)= f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+\bruch{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\bruch{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n[/mm]
>
> [mm]x_0=0[/mm]
> cos(x)= [mm]\bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2}[/mm]
> cos'(x)= -x
> cos''(x)= -1
> cos'''(x)= 0
> cos''''(x)= 0
>
> Ich weiß allerdings nicht genau wie ich ansetzten soll.
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
>
Es sind die ersten 4 Ableitungen des Cosinus
an der Stelle [mm]x_{0}=0[/mm] zu bestimmen.
Damit bekommst Du dann eine näherungsweise Darstellung
des Cosinus.
Der Ansatz mit der Taylorreihe f(x) ist richtig.
Verwende für f(x) [mm]\cos\left(x\right)[/mm]
Damit kannst Du dann die linke Seite der Gleichung
ebenfalls als Polynom darstellen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:14 Mo 16.12.2013 | | Autor: | bavarian16 |
Ich versuchs mal;
[mm] cos(0)-\bruch{sin(0)}{1!}*(x-0)-\bruch{cos(0)}{2!}*(x-0)^2+\bruch{sin(0)}{3!}*(x-0)^3=25/24-\bruch{0^2}{2}-\bruch{0}{1!}*(x-0)-\bruch{1}{2!}*(x-2)^2+\bruch{0}{3!}*(x-0)^3
<=> 1- 1/2x^2=25/24- 1/2x^2 [/mm]
Jetzt kann iich den Ausdruck aber gar nicht nach x auflösen weil mein x rausfällt. Hab ich irgendwo ein fehler gemacht?
Und ich häät noch ne Frage: Doe dritte Ableitung ist ja -1. Da kann ich ja gar kein [mm] x_0 [/mm] Wert einsetzen. Nehm ich dann einfach nur die -1?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo bavarian!
Wo ist denn Dein Glied vierter Ordnung?
Dann verbleibt auch ein $x_$ in der Bestimmungsgleichung.
Gruß
Loddar
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