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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Mo 21.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Intervall A (0,1) [mm] \cup [/mm] (1,2) |
So sind doch 0,1,2 Randpunkte?
Ich versteh nicht ganz warum 1 ein Randpunkt ist.!?
Weiters verstehe ich nicht die Aussage warum jede isolierte Punkt eine Randpunkt ist!?
1 ist ein isolierter Punkt, sind 0,2 auch isolierte Punkte, wenn warum?
Noch eine Frage nicht zu dem Beispiel:
Beweise: Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen (andersrum hab ich es schon geschafft).
A abgeschlossen = die Menge A + Randpunkte.
was ist das Komplement davon?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Di 22.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Intervall A (0,1) [mm]\cup[/mm] (1,2)
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> So sind doch 0,1,2 Randpunkte?
> Ich versteh nicht ganz warum 1 ein Randpunkt ist.!?
Allgemein ist $a$ ein Randpunkt der Menge $A$, wenn in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $a$ sowohl ein Punkt aus $A$ als auch ein Punkt aus dem Komplement von $A$ liegt.
Nun liegt in jeder noch so kleinen [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von 1 auch ein Punkt aus dem Komplement von $A$, nämlich 1 selbst.
>
> Weiters verstehe ich nicht die Aussage warum jede isolierte
> Punkt eine Randpunkt ist!?
Ist $a$ ein isolierter Punkt von $A$, so gibt es eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $a$, in der außer $a$ keine Punkte aus $A$ liegen. Damit liegt $a$ selbst in $A$ und [mm] $a+\epsilon/2$ [/mm] im Komplement von $A$.
> 1 ist ein isolierter Punkt, sind 0,2 auch isolierte
> Punkte, wenn warum?
Keine der drei Punkte sind isolierte Punkte von $A$. Aber 1 ist ein isolierter Punkt vom Komplement von $A$.
>
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> Noch eine Frage nicht zu dem Beispiel:
> Beweise: Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist
> offen (andersrum hab ich es schon geschafft).
Wie habt Ihr "offen" und "abgeschlossen" definiert?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Di 22.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Aber 1 ist ein isolierter Punkt vom Komplement von $ A $.
Das verstehe ich noch nicht ganz, bitte um Erlärung
> Wie habt Ihr "offen" und "abgeschlossen" definiert?
Menge A heißt offen wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
Menge A ist abgeschlossen wenn Menge der Randpunkte von A [mm] \subseteq [/mm] A ist
Siehe beweis umgekehrt.
A = [mm] A^0 [/mm]
[mm] A^0 [/mm] heißt innere Punkte
[mm] A^c [/mm] = [mm] (A^c)^0 \cup [/mm] Menge Randpunkte von A [mm] \supseteq [/mm] Menge der Randpunkte von [mm] (A^c)
[/mm]
[mm] A^c [/mm] heißt Komplement von A
Der Beweis in die andere richtung fehlt mir!
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Hallo sissile,
> > Aber 1 ist ein isolierter Punkt vom Komplement von [mm]A [/mm].
> Das verstehe ich noch nicht ganz, bitte um Erlärung
Ein Punkt P einer Menge A heißt isolierter Punkt, wenn es eine (offene) Kugel [mm] K_\varepsilon(P) [/mm] um P gibt, sodass [mm] A\cap K_\varepsilon(P)=\{P\} [/mm] gilt.
> Der Beweis in die andere richtung fehlt mir!
Bezeichne [mm] $\partial [/mm] A$ die Menge der Randpunkte von A.
Für eine abgeschlossene Menge A gilt [mm] $\partial A\subseteq [/mm] A$. Also
[mm] $(\partial A\cup A)^c=\partial A^c\cap A^c=A^c\backslash\partial [/mm] A$.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Di 22.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke gut verständlich!!
Liebe grüße
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