Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 22.10.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Geben Sie zu jedem der folgenden Anfangswertprobleme (AWP) den maximalen Definitionsbereich der Differentialgleichung (DGL). Ermitteln Sie mit der Methode der Trennung der Variablen jeweils die Lösung zusammen mit dem zugehörigen Definitionsbereich.
a) y' - [mm] x^{-2} [/mm] * y = 0 y(1) = 2
b) |
Hi Leute, das is ne Turoriumsaufgabe, die wir in der nächsten Woche im Tut lösen, aber wollte schon mal vorarbeiten. Kann mir jemand das Prinizp "Trennung von Variablen" erklären?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Sa 22.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du setzt für y' den Differentialquotienten [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] ein und formst die Gleichung so um, das links nur Terme mit y und rechts nur Terme mit x stehen. Dann werden beide Seiten integriert und die Integrationskonstante mittels der Anfangsbedingung bestimmt.
Also
[mm] \integral_{}^{ }{\bruch{dy}{y} dy}=\integral_{}^{ }{\bruch{1}{x^2} dx}+C
[/mm]
Damit hast Du die Funktion y(x) bis auf die Konstante bestimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 22.10.2011 | | Autor: | David90 |
Achso ok...aber wieso steht denn auf der einen Seite zweimal dy und auf der anderen nur einmal dx. also zum Anfang sieht die Formel ja so aus:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] * y
So dann rechnet man mal dx und durch y und dann steht da [mm] \bruch{1}{y}dy [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2}dx [/mm] So jetzt integriert man also steht da
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2}dx} [/mm] oder nicht?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Sa 22.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja das ist richtig. Und jetzt integrieren und die Konstante bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 22.10.2011 | | Autor: | David90 |
Aber ergeben sich dann nich 2 Integrationskonstanten? Also nach der Integration siehts ja so aus oder?
ln(y) +C = [mm] -x^{-1} [/mm] + D
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Hallo David90,
> Aber ergeben sich dann nich 2 Integrationskonstanten? Also
> nach der Integration siehts ja so aus oder?
> ln(y) +C = [mm]-x^{-1}[/mm] + D
Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass du von einer Seite die Integrationskonstante abziehen kannst. Danach steht nur noch auf einer Seite eine Konstante.
Jetzt nach y umstellen (egal auf welcher Seite die Konstante ist).
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 22.10.2011 | | Autor: | David90 |
Sorry aber ich seh nich wo man eine Konstante abziehen kann :( auf der einen Seite is nach y integriert, auf der anderen nach x also ergeben sich 2 Konstanten. Also könnte mir vorstelln, dass man die Konstante auf der rechten Seite weglassen kann, da es ja um y geht. Umgestellt wärs dann ln(y) = [mm] -x^{-1} [/mm] - C. Aber ne wirkliche Lösung is das ja nich...muss mich erst noch reinfinden in DGL :/
Gruß david
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 22.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
subtrahiere z.B. die linke Konstante auf beiden Seiten, dann bleibt rechts die Differenz zweier Konstanten stehen, was auch eine Konstante ist. Insofern hast Du nur eine Konstante zu berücksichtigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 23.10.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann seht da ln(y) = [mm] -x^{-1} [/mm] + C und jetzt muss ich die Anfangsbedingung benutzen oder? Also ist ln(y) gleich 2 und für x=1 oder? Dann steht da 2 = 1 + C und C ist dann 1.
Gruß David
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Hallo David90,
> ok dann seht da ln(y) = [mm]-x^{-1}[/mm] + C und jetzt muss ich die
> Anfangsbedingung benutzen oder? Also ist ln(y) gleich 2 und
> für x=1 oder? Dann steht da 2 = 1 + C und C ist dann 1.
Das stimmt nicht.
Es steht doch da: [mm]\blue{\ln}\left(2\right)=\blue{-}1+C[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 23.10.2011 | | Autor: | David90 |
Also ist die Lösung C= ln2 -1 oder was? Also muss man immer nur die Konstanten bestimmen...
Gruß David
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Hallo David90,
> Also ist die Lösung C= ln2 -1 oder was? Also muss man
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> immer nur die Konstanten bestimmen...
> Gruß David
Gruss
MathePower
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Hallo David,
nochmal ergänzend:
> ok dann seht da ln(y) = [mm]-x^{-1}[/mm] + C
erstmal ja [mm] $\ln(|y|)=-x^{-1}+C$
[/mm]
Dann hast du den Hinweis bekommen, nach $y$ aufzulösen, mache das mal!
Wende zunächst die Exponentialfunktion auf die Gleichung an und beseitige anschließend den Betrag.
Dann die AB einsetzen und die Lösung schön ordentlich aufschreiben mitsamt Definitionsbereich!
> und jetzt muss ich die
> Anfangsbedingung benutzen oder? Also ist ln(y) gleich 2 und
> für x=1 oder? Dann steht da 2 = 1 + C und C ist dann 1.
> Gruß David
Gruß
schachuzipus
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