Trennung von Vektor und Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 18.02.2008 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | A = (-1|5|2) , B = (-3|1|0) , C = (0|1|-1) , P = (-5|4|2)
E = ABC. Berechnen Sie die Hessenormalform von E.
Berechnen Sie d(P,E).
Untersuchen Sie ob der Ursprung 0 und der Punkt P durch die Ebene getrennt werden.
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hallo allerseits
die Hessenormalform etc. habe ich, denke ich, hinbekommen
n = (-1|-3|-3)
||n|| = [mm] \wurzel{1² +3² +3²} [/mm] = [mm] \wurzel{10}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] * ( [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] )
E: x +3y +3z = 20
HNF:
(x +3y +3z -20) / [mm] \wurzel{10} [/mm] = d
P für x einsetzen: -11 / [mm] \wurzel{10} \approx [/mm] -2.213 [mm] \approx [/mm] d(P,E)
das gleich für 0: - 20 / [mm] \wurzel{10} \approx [/mm] -6.324 [mm] \approx [/mm] d(E,0)
um zu klären ob beide Vektoren auf einer "Seite" von E liegen hatte ich ueberlegt aus 0 und P eine Gerade zu erstellen, den Schnittpunkt festzustellen und das dann abzulesen.
g: (0|0|0) + t*(-1|5|2) = 0
(g in E): 1*(0 -5t) + 3*(0 +4t) + 3(0 +2t) = 20
t = 20 /13
Ich weiß allerdings nicht so wirklich weiter.
hoffe auf Rat.
Gruß
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Hallo n8mare,
> A = (-1|5|2) , B = (-3|1|0) , C = (0|1|-1) , P = (-5|4|2)
> E = ABC. Berechnen Sie die Hessenormalform von E.
> Berechnen Sie d(P,E).
> Untersuchen Sie ob der Ursprung 0 und der Punkt P durch
> die Ebene getrennt werden.
>
> hallo allerseits
> die Hessenormalform etc. habe ich, denke ich, hinbekommen
>
> n = (-1|-3|-3)
Dieser Vektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] steht nicht senkrecht auf [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] bzw. auf [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 18.02.2008 | | Autor: | n8Mare |
das kreuzprodukt aus B und C stimmt doch aber
was habe ich denn dann nicht beachtet?
bin etwas verwirrt
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Hallo n8mare,
> das kreuzprodukt aus B und C stimmt doch aber
> was habe ich denn dann nicht beachtet?
> bin etwas verwirrt
da Du A als Punkt auf der Ebene gewählt hast, ergibt sich der Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] der Ebene zu:
[mm]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(B-A\right) \times\left(C-A\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 18.02.2008 | | Autor: | n8Mare |
arghh
ja jetzt seh ichs auch habs schlicht vergessen
hier noch mals korrigiert:
A = (-1|5|2) , B = (-3|1|0) , C = (0|1|-1) , P = (-5|4|2)
g: (-1|5|2) + b * (-2|-4|-2) + c * (1|-4|-3) = 0
n = b [mm] \times [/mm] c
n = (4|-8|-4) = 4 * (1|-2|-1)
||n|| = $ [mm] \wurzel{4² +8² +4²} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{96} [/mm] $
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] * ( $ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] )
E: x -2y -z = -12
HNF:
(x -2y -z = -12) / [mm] \wurzel{96} [/mm] = d
P für x einsetzen: -3 / [mm] \wurzel{96} \approx [/mm] -0.306 [mm] \approx [/mm] d(P,E)
das gleiche für 0: 12 / [mm] \wurzel{96} \approx [/mm] 1.224 [mm] \approx [/mm] d(E,0)
und die gerade:
g: (0|0|0) + t*(-1|5|2) = 0
(g in E): 1*(0 -5t) - 2*(0 +4t) - 1(0 +2t) = -12
t = 12 /15
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Hallo n8mare,
> arghh
> ja jetzt seh ichs auch habs schlicht vergessen
> hier noch mals korrigiert:
>
> A = (-1|5|2) , B = (-3|1|0) , C = (0|1|-1) , P = (-5|4|2)
>
> g: (-1|5|2) + b * (-2|-4|-2) + c * (1|-4|-3) = 0
>
> n = b [mm]\times[/mm] c
> n = (4|-8|-4) = 4 * (1|-2|-1)
Sorry, stimmt immer noch nicht: ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\overrightarrow{n}=\pmat{ -2 \\ -4 \\ -2 } \times \pmat{ 1 \\ -4 \\ 3 }=\pmat{ \left(-4\right)*\left(-3\right)-\left(-2\right)*\left(-4\right) \\ \left(-2\right)*1-\left(-2\right)*\left(-3\right) \\ \left(-2\right)*\left(-4\right)-\left(-4\right)*1 }=\pmat{ 12-8 \\ \left(-2\right)-6 \\ 8-\left(-4\right) }=\pmat{ 4 \\ -8 \\ 12 }=4*\pmat{ 1 \\ -2 \\ 3 }[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 18.02.2008 | | Autor: | n8Mare |
schon wieder
naja ich habs aber verstanden
aber was mir nach wie vor unklar ist
wie soll ich herrausfinden ob beide Vektoren (0 und P)auf einer Seite von E liegen?
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Hallo n8mare,
> schon wieder
> naja ich habs aber verstanden
>
> aber was mir nach wie vor unklar ist
> wie soll ich herrausfinden ob beide Vektoren (0 und P)auf
> einer Seite von E liegen?
Das bekommst heraus, in dem Du den Abstand ohne die Betragsstriche betrachtest bzw. die Punkte in die HNF einsetzt.
Gruß
MathePower
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