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Triangulation: Rückwärtsschnitt, Verständnis
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:35 Fr 10.01.2020
Autor: marthasmith

Aufgabe
<br>
Gegeben seien die Koordinaten von drei Landmarken in [mm]\IR^2[/mm], die im folgenden mit [mm]a=(a_x,a_z)^T[/mm], [mm]m=(m_x,m_z)^T[/mm] und [mm]b=(b_x,b_z)^T[/mm] bezeichnet werden. Die Strecke zwischen zwei Punkten z. B. zwischen a und b wird mit [mm]\bar{ab}[/mm] bezeichnet. Gesucht ist die Position eines Roboters p, wobei die Richtungen (vom Roboter ausgehend) zu den Landmarken gemessen wurden und mit [mm]r_a[/mm],[mm]r_m[/mm],[mm]r_b[/mm] bezeichnet werden. 
Es soll nun das Verfahren von Collins angewendet werden. Dazu berechnet man zunächst die Winkel [mm]\alpha = r_m-r_a[/mm] und [mm]\beta = r_b-r_m[/mm]. Wenn die Summe [mm]\alpha + \beta < 180°[/mm] dann kann weitergerechnet werden, ansonsten muss von [mm]\alpha [/mm] und [mm]\beta[/mm] für die folgenden Berechnungen 180° abgezogen werden. 

Es sind folgende Terme zu berechnen:

[mm]\bar{ab} = \sqrt{(b_z-a_z)^2 + (b_x-a_x)^2}[/mm] (1)
[mm]\theta_{a,b} = arctan \frac{b_z-a_z}{b_x-a_x} [/mm] (2)
[mm]\bar{am} = \sqrt{(m_z-a_z)^2+(m_x-a_x)^2}[/mm] (3)
[mm]\theta_{a,m}=arctan \frac{m_z-a_z}{m_x-a_x}[/mm] (4)
[mm]\gamma = \theta_{a,b}-\theta_{a,m}[/mm] (5)

Treten bei den folgenden Streckenberechnungen negative Werte auf, müssen diese in den weiteren Berechnungen berücksichtigt werden.
Es wird ein Kreis mit den Punkten p, b und a gezogen. Der Punkt h sei der Schnittpunkt zwischen der Richtung [mm]r_m [/mm] mit diesem Kreis. Außerdem liegen die Punkte g und f auf der Strecke [mm]\bar{ab}[/mm]. Die Strecke [mm]\bar{gh}[/mm] bildet mit den Strecken [mm]\bar{bg}[/mm] und [mm]\bar{bh}[/mm]
ein rechtwinkliges Dreieck. Ebenso bildet die Strecke [mm]\bar{fm}[/mm] gemeinsam mit [mm]\bar{fa}[/mm] und [mm]\bar{am}[/mm] ein rechtwinkliges Dreieck.
Nun folgen Anwendungen von trigonometrischen Sätzen:
[mm]\bar{ah} = \bar{ab} \frac{sin(\alpha)}{sin(\alpha + \beta)}[/mm] (6)
[mm]\bar{gh} = -\bar{ah}sin(\beta)[/mm] (7)
[mm]\bar{fm} = -\bar{am}sin(\gamma)[/mm] (8)
[mm]\bar{ag} = -\bar{ah}cos(\beta)[/mm] (9)
[mm]\bar{af} = -\bar{am}cos(\gamma)[/mm] (10)
[mm]\delta = arctan \frac{\bar{gh}-\bar{fm}}{\bar{ag}-\bar{af}}[/mm] (11)

Bei den Arcustangensoperationen muss auf den Quadranten geachtet werden. Nun ergibt sich der Winkle zwischen den Punkten p und h
[mm]\delta_{p,h} = \theta_{a,b}+\delta[/mm] (12)
Falls [mm]\bar{gh}<\bar{fm}[/mm] muss der Winkle angepasst werden, d. h.
[mm]\theta_{p,h}=\theta_{p,h} \pm 180°[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm]\theta_{a,p}=\theta_{p,h}+\delta[/mm] (13)
[mm] \epsilon =-(\delta + \beta)[/mm] (14)
[mm]\bar{ap} = \bar{ah}\frac{sin\epsilon}{sin\alpha}[/mm] (15)
Die Roboterposition berechnet sich dann als
[mm]p = \vektor{a_x + \bar{ap} cos\theta_{a,p} \\ a_z + \bar{ap} sin\theta_{a,p}}[/mm] (16)

[Dateianhang nicht öffentlich]



<br>
Ich habe einfach mal den gesamten Text zum besseren Verständnis abgetippt. Außerdem versuche ich gleich noch ein Bild hochzuladen. Ich verstehe nicht, warum in (7),(8),(9), (10) ein Minuszeichen auftaucht. 

Um Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Außerdem erscheint mir diese Vorgehensweise so kompliziert. Kennt jemand eine einfacherer? 

Und noch ein Nachtrag: Warum wird das Bild nicht veröffentlicht?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Triangulation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Fr 10.01.2020
Autor: chrisno

Ich denke, es sollte auch ohne die Minuszeichen in 7, 8, 9 und 10 gehen.
Für [mm] $\delta$ [/mm] ergibt sich dann der gleiche Wert.
An der Stelle
"Falls $ [mm] \bar{gh}<\bar{fm} [/mm] $ muss der Winkel angepasst werden,"
muss dann noch das kleiner in ein größer (größer/gleich) umgewandelt werden.
Weitere Effekte sehe ich nicht, da die vier Streckenlängen sonst nicht mehr vorkommen.

Ich finde das schon recht einfach. Ob es einfacher geht, weiß ich nicht.
Mein Ansatz wäre:
1. Bestimme der Kreis, auf dem P liegt, wie er sich aus der Streckenlänge AB und der Winkelsumme [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta$ [/mm] ergibt.
2. Bestimme der Kreis, auf dem P liegt, wie er sich aus der Streckenlänge AM und der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] ergibt.
3. Bestimme der Kreis, auf dem P liegt, wie er sich aus der Streckenlänge BM und der Winkel [mm] $\beta$ [/mm] ergibt.
4. Berechne die Alle Schnittpunkte von jeweils zwei der drei Kreise und wähle die beiden aus, die am nächsten beieinander liegen. (Denn es ist nicht davon auszugehen, dass sich einmal drei Kreise in einem Punkt schneiden, da es sich um Messwerte handelt.)

Das Bild ist zu sehen.



PS.: Mein Weg ist noch deutlich komplizierter,
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiswinkel
und dort die Fasskreisbögen.

Das ist das Gute für mich, dass ich durch das Nachdenken über solche Fragen dazu lerne.

Bezug
                
Bezug
Triangulation: Praxisbeispiel Rechenweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Sa 11.01.2020
Autor: marthasmith

Aufgabe
<br>
Gegeben seien die Landmarken [mm]a = \vektor{7,5 m \\ 7,5 m}, m = \vektor{2,5 m \\ 2,5 m}, b = \vektor{0 m\\ 0m}[/mm] und die Winkel [mm]\alpha = \ang{70}, \beta=\ang{45}[/mm]
Berechnen Sie die Koordinaten und Ausrichtung des Roboters

[mm]\bar{ab} = \sqrt{(0-7,5)^2+(0-7,5)^2} [/mm] (1)
[mm]\theta_{a,b} = arctan ( \frac{0-7,5}{0-7,5}) [/mm] (2)
[mm]\bar{am} = \sqrt{(2,5-7,5)^2+(2,5-7,5)^2[/mm] (3)
[mm]\theta_{a,m} = arctan \left ( \frac{-5}{-5} \right )[/mm] (4)
[mm]\gamma = 225 - 225 = 0[/mm] (5)
[mm]\bar{ah} = 10,61 \frac{sin(70)}{sin(70+45)}=11[/mm] (6)
[mm]\bar{gh} = -11 sin(45)=7,78[/mm] (7)
[mm]\bar{fm} = -7,07 sin(0)=0[/mm] (8)
[mm]\bar{ag} = 11 cos(45)=7,78[/mm] (9)
[mm]\bar{af} = 7,07 \cdot cos(0)=7,07[/mm] (10)
[mm]\delta = arctan \left ( \frac{7,78-0}{7,78-7,07} \right ) = 84,79[/mm] (11)
[mm]\theta_{p,h} = 225+84,79=309,79[/mm] (12)




<br>
Vielen Dank chrisno für Deine Hilfe.
Nun wollte ich mich einfach mal in einem Beispiel durchhangeln und erstmal auch bei den Minuszeichen bleiben, um zu gucken was dabei herauskommt. Leider bin ich beim Rechnen auf mehrere Fragestellungen gestoßen. Daher habe ich das erstmal gezeichnet (siehe Bild).

Frage 1: Der Winkel [mm]\alpha = 70[/mm] Grad ist auf der Zeichnung niemals 70 Grad, gemäß Geodreieck eher 50 Grad. Was stimmt da nicht?

Frage 2: In der Lösung steht für [mm]\delta = 174,82[/mm] Grad. In meiner Rechnung kommt 84,79 Grad heraus (siehe Gleichung 11). Das lässt sich ja vielleicht noch erklären, da der Unterschied quasi 90 Grad sind. Wobei mir auch nicht klar ist, warum in der Lösung 174,82 herauskommen.

Frage 3: Dieser Unterschied führt dann dazu, dass der Winkel [mm]\theta_{p,h}[/mm] in der Lösung 174,82 Grad ist und bei mir kommt dann 309 Grad heraus. Wenn ich nun meinen errechneten Winkel in die Zeichnung eintrage (habe nicht die 309 sondern 51 eingezeichnet), dann fällt die Ausrichtung des Roboters in etwa in die Richtung von der Landmarke a, was auch zu den Zahlen passt. Dann allerdings ist der Winkel [mm]\theta_{p,h} [/mm] in etwa so groß wie [mm]\alpha[/mm], wobei [mm]\alpha[/mm]ja gemäß Beispiel eigentlich 70 Grad ist. Das verstehe ich nicht.

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

[img]1[img]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Triangulation: glaube Lösung im Buch falsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Sa 11.01.2020
Autor: marthasmith

Vorhin ist mir die Idee gekommen mal den berechneten Wert von [mm] $\bar{ah}$, [/mm] den ich selber mit 11 berechnet habe mit [mm] $\alpha [/mm] = 50$ zu berechnen und anschließend auch auf meiner Zeichnung mit dem Lineal nachzumessen. Ich glaube meine Rechnungen sind richtig und das Buch ist fehlerhaft. Bitte aber dennoch um Eure Meinung.

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Bezug
Triangulation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Sa 11.01.2020
Autor: chrisno

Ich fürchte, es hilft nichts, außer den Rechenweg Schritt für Schritt herzuleiten und die Fehler herauszufinden.
Ich habe deine Rechnung im Wesentlichen nachvollzogen. Warum nimmst du 255° für tan(1)?
Mit: "Nun ergibt sich der Winkle zwischen den Punkten p und h" kann ich wenig anfangen, für einen Winkel brauche ich drei Punkte.
Ich schlage dir vor, mit Geogebra zu arbeiten. Damit komme ich zu keiner Übereinstimmung. Gibt die "Lösung" nicht auch die Koordianten von P an? Das würde es etwas einfacher machen.
[Dateianhang nicht öffentlich][Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
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Anhang Nr. 2 (Typ: svg) [nicht öffentlich]
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Triangulation: Angabe der Koordinaten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:21 So 12.01.2020
Autor: marthasmith

Hallo chrisno,

ganz vielen Dank für deine Unterstützung. 
Erstmal zum weiteren Verständnis: Es handelt sich hierbei um eine Fragestellung aus der Robotik (Lagepeilung). Bezogen mit den Angaben der Landmarken besteht das Ziel darin die Position und Orientierung eines Roboters in Bezug auf das bekannte Koordinatensystem zu berechnen (also der Ursprung des Roboterkoordinatensystems ist P). 

In meinen Gedanken handelt es sich im Prinzip um die Ermittlung einer Transformationsmatrix bestehend aus einer Translation und Rotation. Nun werde ich mich erstmal dran machen den Rechenweg nochmal zu überarbeiten und deine Zeichnungen zu versuchen zu verstehen. Danke für den Tipp mit dem Programm. Das kenne ich nicht. Normalerweise benutze ich in solchen Fällen MATLAB, aber das habe ich auf diesem Rechner nicht. Könnte ich mir morgen in der Hochschule aber mal installieren.

Die richtigen Koordinaten am Ende sind übrigens gemäß Buch P = (1,02; 11,27) und der ermittelte Winkel [mm] $\theta_{a,p} [/mm] = -30.18$.

Bezug
                                
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Triangulation: Beispiel falsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 So 12.01.2020
Autor: marthasmith

Hallo chrisno,

ich habe jetzt doch mal das GeoGebra ausprobiert. Danke für den Tipp. Gemäß meiner Zeichnung passen die Angaben in dem Beispiel nicht zusammen. Nun werde ich es nochmal anders probieren.

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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Triangulation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 So 12.01.2020
Autor: chrisno

Es sieht so aus, als hätte ich [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] vertauscht.

Bezug
        
Bezug
Triangulation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 Di 14.01.2020
Autor: Eisfisch

interaktiv:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/rueckwaertsschnitt.htm


lösung: bild [Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Triangulation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Sa 25.01.2020
Autor: matux

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