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| Aufgabe | | Für welche [mm]x \in \IR[/mm] gilt [mm]\tan x=\sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin 2x \cos x[/mm]? |
Ich bin nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe korrekt gelöst habe, wäre super wenn jemand mal drüber schauen könnte.
[mm]
\tan x=\sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin 2x \cos x\gdw
\bruch{\sin x}{\cos x}=\sin^3 x+\bruch{1}{2}2\sin x \cos x\cos x\gdw
\bruch{1}{\cos x}=\sin^2 x+\cos^2 x\gdw
\bruch{1}{\cos x}=1\gdw
1=\cos x\gdw
x=cos^{-1} 1[/mm]
Vielen Dank im Vorraus
P.S. Ich hoffe ich hab das richtige Unterforum erwischt.
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> Für welche [mm]x \in \IR[/mm] gilt [mm]\tan x=\sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin 2x \cos x[/mm]?
>
> Ich bin nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe korrekt gelöst
> habe, wäre super wenn jemand mal drüber schauen könnte.
> [mm]
\tan x=\sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin 2x \cos x\gdw
\bruch{\sin x}{\cos x}= (\*) \sin^3 x+\bruch{1}{2}2\sin x \cos x\cos x\gdw
\bruch{1}{\cos x}=\sin^2 x+\cos^2 x\gdw
\bruch{1}{\cos x}=1\gdw
1=\cos x\gdw
x=cos^{-1} 1[/mm]
>
> Vielen Dank im Vorraus
Hallo,
an einer Stelle dividierst Du durch sin(x).
Wenn Du so etwas tust, mußt Du sicherstellen, daß Du keine Lösungen durch Dividieren durch 0 verlierst. Notiere hier also: für [mm] sin(x)\not=0, [/mm] und untersuche dies später.
Es ist übrigens [mm] \sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin [/mm] 2x [mm] \cos [/mm] x= sin(x), was Du siehst, wenn Du in [mm] (\*) [/mm] sin(x) ausklammerst.
Gruß v. Angela
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ok also nochmal ein verbesserter Ansatz:
[mm]
\tan x= sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin 2x \cos x\gdh \bruch{\sin x}{\cos x}=\sin^3 x+\bruch{1}{2}2\sin x \cos x \cos x=\sin^3 x +\sin x \cos^2x\gdh \bruch{\sin x}{\cos x}=\sin x(\sin^2 x+\cos^2 x)\gdh \bruch {\sin x}{\cos x}= \sin x\gdh (*) \cos x= 1\gdh x= \cos^{-1}[/mm]
Nun noch den Fall [mm] \sin x=0[/mm]:[mm]
\bruch {0}{\cos x}=0 \Rightarrow x=0[/mm]
wäre aber noch der Fall zu betrachten in dem [mm]\cos x=0[/mm] ist, der führt mich aber aquch zu x=0.
Sind das alle möglichkeiten?
Danke
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> ok also nochmal ein verbesserter Ansatz:
> [mm]
[mm] \tan [/mm] x= [mm] sin^3 x+\bruch{1}{2}\sin [/mm] 2x [mm] \cos x\gdw \bruch{\sin x}{\cos x}=\sin^3 x+\bruch{1}{2}2\sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x [mm] \cos x=\sin^3 [/mm] x [mm] +\sin [/mm] x [mm] \cos^2x\gdw \bruch{\sin x}{\cos x}=\sin x(\sin^2 x+\cos^2 x)\gdw \bruch {\sin x}{\cos x}= \sin [/mm] x
[mm] \gdw \cos [/mm] x= 1 oder [mm] \sin [/mm] x=0
<==> x= ??? oder x= ???
Die Ergebnissse wollen wir jetzt aber auch noch wissen - und zwar alle!
> Nun noch den Fall [mm]\sin x=0[/mm]:[mm]
\bruch {0}{\cos x}=0 \Rightarrow x=0[/mm]
> wäre aber noch der Fall zu betrachten in dem [mm]\cos x=0[/mm] ist,
> der führt mich aber aquch zu x=0.
> Sind das alle möglichkeiten?
Nein. Guck Dir doch die Kurven von sin und cos an.
Gruß v. Angela
> Danke
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Ach ok mal sehen ob ich nun endlich bissel durchblicke:
[mm]\cos x=1[/mm] gilt bei [mm] x= n 2\pi, n \in \IZ[/mm]
[mm]\sin x=0[/mm] gilt bei [mm] x= n \pi, n \in \IZ[/mm]
Also gilt zusammen das x ein ganzzahliges Vielfachs von Pi sein muss, die Null mit eingeschlossen?
Ist das richtig?
Vielen dank schonmal fürs helfen auch wenns in meinem Fall sicher nicht leicht ist.
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Hallo, so ist es korrekt, Steffi
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