Umformung einer endliche Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Sa 07.06.2008 | | Autor: | fat-twin |
Sehr geehrter Mathematiker,
ich habe eine für sicherliche sehr einfache Frage:
diese endliche Folge:
[mm] \left((\bruch{1}{(1+i)} )^2 + ( \bruch{1}{(1+i)^2})^2 + ... + ( \bruch{1}{(1+i)^10} )^2\right) [/mm]
ergibt zusammengefasst:
[mm] \left(\bruch{(1+i)^20-1}{((1+i)^2-1)(1+i)^20}\right) [/mm]
(Ich weiß nicht warum es mir die Nuller bei 10 und 20 so verschiebt)
Warum? Ich bekomm diese Zusammenfassung einfach nicht hin!
Vielen Dank schonmal und beste Grüße
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Sa 07.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Sehr geehrter Mathematiker,
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> ich habe eine für sicherliche sehr einfache Frage:
>
> diese endliche Folge:
>
> [mm]\left((\bruch{1}{(1+i)} )^2 + ( \bruch{1}{(1+i)^2})^2 + ... + ( \bruch{1}{(1+i)^10} )^2\right)[/mm]
Jeder einzelne Summand wird doch zweimal potenziert: jeder wird hoch 2 genommen, und dann außerdem noch mit 1 oder 2 oder ... 9 oder 10 potenziert.
Nimm mal zuerst jeden Summanden hoch 2. Du erhältst einheitlich [mm] (\bruch{1}{(1+i)} )^2, [/mm] umusst also sie entsprechnede Sumennd diesen Wert nennen wir q. Dann lautet deine Summe [mm] q^1+q^2+q^3+...+q^10. [/mm]
Macht es Klick?
Geometrische Reihe (nur ohne den ersten Smmaden [mm] q^0)!
[/mm]
Du musst also nur die entspechende Summenformel verwenden.
Gruß Abakus
>
> ergibt zusammengefasst:
>
> [mm]\left(\bruch{(1+i)^20-1}{((1+i)^2-1)(1+i)^20}\right)[/mm]
>
> (Ich weiß nicht warum es mir die Nuller bei 10 und 20 so
> verschiebt)
Für einstellige Exponenten reicht das ^ - Zeichen. Soll mehr als 1 Zeichen hochgestellt werden, muss das Hochzustellende nach ^ in geschweifte Klammern geschrieben werden.
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> Warum? Ich bekomm diese Zusammenfassung einfach nicht hin!
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> Vielen Dank schonmal und beste Grüße
>
> Markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 07.06.2008 | | Autor: | fat-twin |
Hmmm, soweit war ich auch schon. Nur, dass es bei mir zu
[mm] q^2 [/mm] + [mm] q^4 [/mm] + [mm] q^6 [/mm] + [mm] q^8 [/mm] +...+ q^20 kam.
also ich habe dann quasi eine Summe von i = 2 bis zwanzig aber immer in in zweier schritten, keine ahnung wie die korrekte notation ist.
vielleicht, rechne ich es einfach mal aus, dann werde ich hoffentlich über für
[mm] s_n [/mm] = [mm] a_o\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] auf das Ergebnis kommen?
Gruß und schonmal Danke
Markus
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Hallo fat-twin,
Abakus hat doch gesagt, du sollst die Potenzierungsreihenfolge vertauschen.
Schreibe es also "andersherum" auf, dann bekommst du ne endl. geometr. Reihe und kannst deine Summenformel verwenden:
Also [mm] $\left(\frac{1}{(1+i)\red{^{1}}}\right)\blue{^2}+\left(\frac{1}{(1+i)\red{^{2}}}\right)\blue{^2}+\left(\frac{1}{(1+i)\red{^{3}}}\right)\blue{^2}+...+\left(\frac{1}{(1+i)\red{^{10}}}\right)\blue{^2}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{1}{(1+i)\blue{^2}}\right)\red{^{1}}+\left(\frac{1}{(1+i)\blue{^2}}\right)\red{^{2}}+\left(\frac{1}{(1+i)\blue{^2}}\right)\red{^{3}}+...+\left(\frac{1}{(1+i)\blue{^2}}\right)\red{^{10}}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^{10}\frac{1}{(1+i)^2}$
[/mm]
Das ist dann nach der Summenformel für die endl. geometr. Reihe
[mm] $=\frac{1-\left(\frac{1}{(1+i)^2}\right)^{11}}{1-\frac{1}{(1+i)^2}} [/mm] \ [mm] \green{-1}$
[/mm]
Die [mm] \green{1} [/mm] musst du abziehen, weil die geometr. Reihe bei k=0 losläuft, deine aber bei k=1, also muss man den Summenden für k=0, das ist [mm] $\left(\frac{1}{(i+1)^2}\right)^0=1$ [/mm] noch abziehen vom Summenwert
Das nun zusammenfassen:
[mm] $=\frac{1-\frac{1}{(1+i)^{22}}}{\frac{(1+i)^2-1}{(1+i)^2}} [/mm] \ - \ 1$
Den Rest du ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Sa 07.06.2008 | | Autor: | fat-twin |
Vielen Dank, das mit der Umschreibung habe ich nicht verstanden, jetzt ist alles klar!
Vielen Dank
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