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| Aufgabe | Bilde die Umkehrfunktion
[mm] f(x)=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1}) [/mm] |
Ich grüße den Matheraum
ich muß also nach x umstellen und dann die Variablen tauschen
[mm] y=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1})
[/mm]
[mm] e^y=x*\wurzel{x^2-1}
[/mm]
[mm] e^y=\wurzel{x^4-x^2}
[/mm]
[mm] e^{2y}=x^4-x^2
[/mm]
[mm] 0=x^4-x^2-e^{2y}
[/mm]
kann ich jetzt durch Substituion [mm] a:=x^2 [/mm] die quadratische Gleichung
[mm] 0=a^2-a-e^{2y}
[/mm]
lösen?
danke Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Do 19.03.2020 | | Autor: | fred97 |
> Bilde die Umkehrfunktion
> [mm]f(x)=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1})[/mm]
> Ich grüße den Matheraum
>
> ich muß also nach x umstellen und dann die Variablen
> tauschen
>
> [mm]y=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1})[/mm]
>
> [mm]e^y=x*\wurzel{x^2-1}[/mm]
>
> [mm]e^y=\wurzel{x^4-x^2}[/mm]
>
> [mm]e^{2y}=x^4-x^2[/mm]
>
> [mm]0=x^4-x^2-e^{2y}[/mm]
>
> kann ich jetzt durch Substituion [mm]a:=x^2[/mm] die quadratische
> Gleichung
>
> [mm]0=a^2-a-e^{2y}[/mm]
>
> lösen?
Ja, Du bekommst dann
[mm] $x^2=a= \frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1+4e^{2y}}).$
[/mm]
Wie entscheidest Du Dich nun ? [mm] \sqrt{1+4e^{2y}} [/mm] oder [mm] $-\sqrt{1+4e^{2y}}.$
[/mm]
>
> danke Zwinkerlippe
>
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Danke, ich hatte auch schon [mm] x^2=a=... [/mm] berechnet, war mir aber eben nicht sicher, ob der Weg zielführend ist. Du erwartest von mir eine Entscheidung, + oder -. Mir ist noch nicht klar, warum ich diese Entscheidung treffen muss. Hat es etwas mit dem Definitionsbereich meiner Funktion zu tun x>1 ? Wie muss ich dann fortfahren? danke Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 19.03.2020 | | Autor: | fred97 |
> Danke, ich hatte auch schon [mm]x^2=a=...[/mm] berechnet, war mir
> aber eben nicht sicher, ob der Weg zielführend ist. Du
> erwartest von mir eine Entscheidung, + oder -. Mir ist noch
> nicht klar, warum ich diese Entscheidung treffen muss. Hat
> es etwas mit dem Definitionsbereich meiner Funktion zu tun
> x>1 ? Wie muss ich dann fortfahren? danke Zwinkerlippe
Nimm an , es wäre
$ [mm] x^2=a= \frac{1}{2}(1 [/mm] - [mm] \sqrt{1+4e^{2y}}). [/mm] $
Wegen $1 - [mm] \sqrt{1+4e^{2y}}<0$ [/mm] hätten wir dann [mm] $x^2 [/mm] <0$ . Geht das gut ?
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Ok, das habe ich verstanden, somit
[mm] x^2=\bruch{1}{2}*(1+\wurzel{1+4e^{2y}})
[/mm]
[mm] x=\wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})
[/mm]
jetzt Variablen tauschen Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Do 19.03.2020 | | Autor: | fred97 |
> Ok, das habe ich verstanden,
Prima.
> somit
>
> [mm]x^2=\bruch{1}{2}*(1+\wurzel{1+4e^{2y}})[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})[/mm]
Zunächst folgt
[mm]x= \pm \wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})[/mm].
Da aber, wie Du oben geschrieben hast $x>1$ sein soll, folgt
[mm]x=\wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})[/mm]
>
> jetzt Variablen tauschen
genau.
> Zwinkerlippe
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Riesen Dank Fred, klar vor die Wurzel muss [mm] \pm, [/mm] damit es mathematisch sauber ist, dann kommt der Definitionsbereich in's Spiel, Zwinkerlippe
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