Umlaufzahlen, dringend! :) < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Do 12.07.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Seien [mm] $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3: [/mm] [a; b] [mm] \to \IC$ [/mm] stetige (stuckweise stetig di erenzierbare) geschlossene Kurven.
Zeigen Sie:
(i) Wenn $0 [mm] \not\in \text{Bild}(\gamma_1) \cup \text{Bild}(\gamma_2)$, [/mm] dann [mm] $\text{Ind}_{\gamma_1 \cdot \gamma_2}(0) [/mm] = [mm] \text{Ind}_{\gamma_1}(0)+\text{Ind}_{\gamma_2}(0)$ [/mm] und [mm] $\text{Ind}_{\gamma_1/ \gamma_2}(0)= \text{Ind}_{\gamma_1}(0)-\text{Ind}_{\gamma_2}(0)$
[/mm]
(Hier sind [mm] $\gamma_1 \cdot \gamma_2$ [/mm] und [mm] $\gamma_1 [/mm] / [mm] \gamma_2$ [/mm] die durch punktweise Multiplikation bzw. Division definierten Wege, also [mm] $(\gamma_1 \cdot \gamma_2)(t):= \gamma_1(t) \cdot \gamma_2(t)$ [/mm] und [mm] $(\gamma_1 [/mm] / [mm] \gamma_2)(t):= \gamma_1(t) [/mm] / [mm] \gamma_2(t)$)
[/mm]
(ii) Wenn [mm] $|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|<|\gamma_1(t)|$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$, dann $0 [mm] \not\in \text{Bild}(\gamma_1)\cup \text{Bild}(\gamma_2)$ [/mm] und [mm] $\text{Ind}_{\gamma_1}(0)=\text{Ind}_{\gamma_2}(0)$.
[/mm]
(Diese Ausage hat folgende Interpretation: Wenn die Entfernung eines Spaziergängers zu einem Baum zu jedem Zeitpunkt groer ist als der Abstand zwischen dem Spaziergänger und seinem Hund, dann umlaufen Hund und Spazierganger den Baum gleich oft.)
(iii) Wenn [mm] $|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|<|\gamma_1(t)+\gamma_2(t)|$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$, dann $0 [mm] \not\in \text{Bild}(\gamma_1)\cup \text{Bild}(\gamma_2)$ [/mm] und [mm] $\text{Ind}_{\gamma_1}(0)=\text{Ind}_{\gamma_2}(0)$. [/mm]
(Was bedeutet diese Aussage fur den Spaziergänger und seinem Hund?)) |
Hi :)
ich komme da nicht weiter. So kurz vor Ende habe ich echt viel um die Ohren.
Also die Windungszahl bzw. Umdrehungszahl hatten wir definiert als
[mm] $\text{Ind}_{\gamma} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma} \bruch{1}{\omega - z} d\omega$
[/mm]
Nun mit [mm] $\gamma_1\cdot \gamma_2$
[/mm]
[mm] $\text{Ind}_{\gamma_1\cdot \gamma_2} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma_1\cdot \gamma_2} \bruch{1}{\omega - z} d\omega$.
[/mm]
Und jetzt sehe ich nicht mehr weiter... ich dachte schon etwas mit der Indikatorfunktion, aber es hilft nicht...
Was übersehe ich denn?
Ich danke, für jeden Tipp.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 12.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Seien [mm]\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3: [a; b] \to \IC[/mm] stetige
> (stuckweise stetig di erenzierbare) geschlossene Kurven.
> Zeigen Sie:
>
> (i) Wenn [mm]0 \not\in \text{Bild}(\gamma_1) \cup \text{Bild}(\gamma_2)[/mm],
> dann [mm]\text{Ind}_{\gamma_1 \cdot \gamma_2}(0) = \text{Ind}_{\gamma_1}(0)+\text{Ind}_{\gamma_2}(0)[/mm]
> und [mm]\text{Ind}_{\gamma_1/ \gamma_2}(0)= \text{Ind}_{\gamma_1}(0)-\text{Ind}_{\gamma_2}(0)[/mm]
>
> (Hier sind [mm]\gamma_1 \cdot \gamma_2[/mm] und [mm]\gamma_1 / \gamma_2[/mm]
> die durch punktweise Multiplikation bzw. Division
> definierten Wege, also [mm](\gamma_1 \cdot \gamma_2)(t):= \gamma_1(t) \cdot \gamma_2(t)[/mm]
> und [mm](\gamma_1 / \gamma_2)(t):= \gamma_1(t) / \gamma_2(t)[/mm])
>
> (ii) Wenn [mm]|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|<|\gamma_1(t)|[/mm] für alle
> [mm]t \in [a,b][/mm], dann [mm]0 \not\in \text{Bild}(\gamma_1)\cup \text{Bild}(\gamma_2)[/mm]
> und [mm]\text{Ind}_{\gamma_1}(0)=\text{Ind}_{\gamma_2}(0)[/mm].
> (Diese Ausage hat folgende Interpretation: Wenn die
> Entfernung eines Spaziergängers zu einem Baum zu jedem
> Zeitpunkt groer ist als der Abstand zwischen dem
> Spaziergänger und seinem Hund, dann umlaufen Hund und
> Spazierganger den Baum gleich oft.)
>
> (iii) Wenn
> [mm]|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|<|\gamma_1(t)+\gamma_2(t)|[/mm] für
> alle [mm]t \in [a,b][/mm], dann [mm]0 \not\in \text{Bild}(\gamma_1)\cup \text{Bild}(\gamma_2)[/mm]
> und [mm]\text{Ind}_{\gamma_1}(0)=\text{Ind}_{\gamma_2}(0)[/mm].
> (Was bedeutet diese Aussage fur den Spaziergänger und
> seinem Hund?))
> Hi :)
>
> ich komme da nicht weiter. So kurz vor Ende habe ich echt
> viel um die Ohren.
>
> Also die Windungszahl bzw. Umdrehungszahl hatten wir
> definiert als
>
> [mm]\text{Ind}_{\gamma} := \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma} \bruch{1}{\omega - z} d\omega[/mm]
>
> Nun mit [mm]\gamma_1\cdot \gamma_2[/mm]
>
> [mm]\text{Ind}_{\gamma_1\cdot \gamma_2} := \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma_1\cdot \gamma_2} \bruch{1}{\omega - z} d\omega[/mm].
>
> Und jetzt sehe ich nicht mehr weiter... ich dachte schon
> etwas mit der Indikatorfunktion, aber es hilft nicht...
>
> Was übersehe ich denn?
Zunächst geht es immer um die Windungszahl um 0:
[mm] \text{Ind}_{\gamma}(0) := \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma} \bruch{1}{\omega} d\omega[/mm] .
Wenn du die Definition des Kurvenintegrals einsetzt, hast du
[mm] \text{Ind}_{\gamma}(0) = \bruch{1}{2 \pi i} \integral_a^b \bruch{\gamma'(t)}{\gamma(t)} dt [/mm] .
Nun setze z.B. [mm] $\gamma(t)=\gamma_1(t)\gamma_2(t)$ [/mm] .
Bei Teil (ii) und (iii) kannst du aus der Annahme [mm]0 \in \text{Bild}(\gamma_1)\cup \text{Bild}(\gamma_2)[/mm] ganz leicht einen Widerspruch zu den beiden Ungleichungen konstruieren: denn dann müsste es ein t geben, sodass [mm] $\gamma_1(t)=0$ [/mm] oder [mm] $\gamma_2(t)=0$.
[/mm]
Damit erfüllen [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] die Vorasussetzungen der Teilaufgabe (i). Es reicht z.B in (ii) zu zeigen, dass [mm] $\gamma_2 [/mm] / [mm] \gamma_1$ [/mm] Windungszahl 0 haben muss.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Rainer, dank dir!
So ist die Aufgabe echt gut zu begreifen. :)
Eigentlich muss ich doch nur (iIi) zeigen, da [mm] $|\gamma_1(t)|<|\gamma_1(t)+\gamma_2(t)|$, [/mm] oder?
Was bedeutet denn (iii) für die Interpretation?
Etwa: Für die Interpretation bedeutet das, wenn der Abstand vom Baum zum Hund [mm] $|\gamma_1(t)+\gamma_2(t)|$ [/mm] größer ist als der Abstand vom Spaziergänger zum Hund [mm] $|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|$, [/mm] dann umlaufen Spaziergänger und Hund den Baum gleich oft.
Ich dank dir nochmal, bist mir echt immer eine große Hilfe!
Liebe Grüße,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 15.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
