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| Aufgabe | Seien [mm] \mathcal{E}_{i} [/mm] für $ i [mm] \in [/mm] I $ unabh., [mm] \cap [/mm] -stabile Teilsysteme eines W-Raumes [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P ), I sei disjunkte Vereinigung von Mengen [mm] I_{j} [/mm] für $ j [mm] \in [/mm] J $
Zeigen Sie, dass dann die von [mm] \bigcup_{i \in I_{j}} \mathcal{E}_{i} [/mm] erzeugten [mm] \sigma [/mm] -Algebren unabh. sind. |
Hallo!
Ich weiß schon folgendes:
Sind [mm] \mathcal{U}_{j} [/mm] unabhängig und [mm] \cap [/mm] -stabil, so auch die von ihnen erzeugten [mm] \sigma [/mm] -Algebren.
Ich hab mir nun
[mm] \mathcal{U}_{j} [/mm] := [mm] \{ \bigcap_{k \in K} A_{k} | K \subset I_{j} \ endlich \ und \ A_{k} \in \mathcal{E}_{k}\} [/mm]
definiert und gezeigt, dass diese Systeme [mm] \cap [/mm] -stabil sind und die gleiche [mm] \sigma [/mm] - Algebra erzeugen, wie die Vereinigung der [mm] \mathcal{E}_{i} [/mm] für i aus [mm] I_{j}
[/mm]
Was fehlt ist die Unabhängigkeit...und das krieg ich irgendwie nicht hin.
Sei dazu K [mm] \subset [/mm] J endlich und [mm] A_{k} [/mm] für k [mm] \in [/mm] K aus [mm] \mathcal{U}_{k}. [/mm] Dann gibt es zunächst [mm] L_{k} \subset I_{k} [/mm] und Mengen [mm] A^{k}_{l} \in \mathcal{E}_{l}, [/mm] sodass
[mm] A_{k} [/mm] = [mm] \bigcap_{l \in L_{k}} A^{k}_{l}
[/mm]
Dann gilt:
P( [mm] \bigcap_{k} A_{k} [/mm] ) = P ( [mm] \bigcap_{k} \bigcap_{l \in L_{k}} A_{l}^{k} [/mm] ) = P ( [mm] \bigcap_{ l \in \bigcup_{k \in K} L_{k}} \bigcap_{k: l \in L_{k}} A_{l}^{k} [/mm] ) = [mm] \prod_{l \in \bigcup L_{k}} [/mm] P ( [mm] \bigcap_{k: l \in L_{k}} A_{l}^{k} [/mm] ) = ???
Rauskommen sollte jedenfalls
[mm] \prod_{ k \in K} [/mm] P [mm] (A_{k} [/mm] ) = [mm] \prod_{k \in K} [/mm] P ( [mm] \bigcap_{ l \in L_{k} } A_{l}^{k} [/mm] )
Ich sehe aber nicht, wie man das weiter umformen könnte, denn die Mengen [mm] A_{l}^{k} [/mm] für k mit l [mm] \in L_{k} [/mm] liegen doch alle in [mm] \mathcal{E}_{l} [/mm] und das ist nicht unabhängig von sich selbst...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Do 18.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Salamence,
dein Ansatz sieht doch schon einmal sehr gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann gilt:
> P( [mm]\bigcap_{k} A_{k}[/mm] ) = P ( [mm]\bigcap_{k} \bigcap_{l \in L_{k}} A_{l}^{k}[/mm]
> ) = P ( [mm]\bigcap_{ l \in \bigcup_{k \in K} L_{k}} \bigcap_{k: l \in L_{k}} A_{l}^{k}[/mm]
> ) = [mm]\prod_{l \in \bigcup L_{k}}[/mm] P ( [mm]\bigcap_{k: l \in L_{k}} A_{l}^{k}[/mm]
> ) = ???
(Warum gilt die letzte Gleichheit?)
> Rauskommen sollte jedenfalls
> [mm]\prod_{ k \in K}[/mm] P [mm](A_{k}[/mm] ) = [mm]\prod_{k \in K}[/mm] P ( [mm]\bigcap_{ l \in L_{k} } A_{l}^{k}[/mm]
> )
> Ich sehe aber nicht, wie man das weiter umformen könnte,
> denn die Mengen [mm]A_{l}^{k}[/mm] für k mit l [mm]\in L_{k}[/mm] liegen
> doch alle in [mm]\mathcal{E}_{l}[/mm] und das ist nicht unabhängig
> von sich selbst...
Von diesen vermeintlich vielen Mengen [mm]A_{l}^{k}[/mm] für k mit l [mm]\in L_{k}[/mm] gibt es bei näherem Hinsehen nur eine! Genauer gesagt: Es gibt nur (genau) ein k mit [mm] $l\in L_k$ [/mm] (nennen wir es [mm] $k_l$), [/mm] d.h. es kann keine zwei verschiedenen [mm] $k,k'\in [/mm] K$ geben, so dass $l$ in beiden Mengen [mm] $L_k$ [/mm] und [mm] $L_{k'}$ [/mm] liegt. Denn sonst würde $l$ auch in [mm] $I_k$ [/mm] und [mm] $I_{k'}$ [/mm] liegen und wir hätten einen Widerspruch zur paarweisen Disjunktheit der [mm] $I_j$.
[/mm]
In [mm] $\bigcap_{k: l \in L_{k}} A_{l}^{k}$ [/mm] wird also der Schnitt nur über ein $k$, nämlich [mm] $k=k_l$ [/mm] genommen. Also [mm] $\bigcap_{k: l \in L_{k}} A_{l}^{k}=A_l^{k_l}$.
[/mm]
Kommst du damit alleine weiter?
Viele Grüße
Tobias
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