Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi
eine eigentl. evidente Ungleichung soll ich beweisen:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}|x(i)-y(i)|)^2 \ge \summe_{i=1}^{n}|x(i)-y(i)|^2
[/mm]
das quadrat einer summe ist größer als die quadrate der summanden.
hat hier jmd eine beweisidee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zeige induktiv für Zahlen [mm] a_i \ge [/mm] 0:
$( [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i)^2 \ge \summe_{i=1}^{n}a_i^2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi
wie zeigt man das?
also induktion über n?
und gibt es eine Konstante, sodass
[mm] (\summe_{i=1}^{n}a_i)^2 \le C*\summe_{i=1}^{n}a_i^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi
> wie zeigt man das?
> also induktion über n?
Ja, mach Dich doch mal dran !
> und gibt es eine Konstante, sodass
>
> [mm](\summe_{i=1}^{n}a_i)^2 \le C*\summe_{i=1}^{n}a_i^2[/mm]
Was soll das denn ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Phecda |
es geht dadrum,
dass das zwei definitionen von metriken sind und man soll zeigen dass beide äquivalent sind.
dazu muss man eben dieses C finden.
die induktion hab ich gemacht
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> es geht dadrum,
> dass das zwei definitionen von metriken sind und man soll
> zeigen dass beide äquivalent sind.
> dazu muss man eben dieses C finden.
> die induktion hab ich gemacht
> danke
>
Ich ahne den Zusammenhang........ $n$ ist fest und $C$ darf von $n$ abhängen.
Für [mm] a_i, b_i \ge [/mm] 0 gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (die kennst Du)
[mm] (\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 \le (\summe_{i=1}^{n}a_i^2)(\summe_{i=1}^{n}b_i^2)
[/mm]
Setze alle [mm] b_i= [/mm] 1. Dann erhälst Du $C=n$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Phecda |
ok danke ;)
wäre nie drauf gekommen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
bei Ungleichungen wie oben immer an die Cauchy- Schwarzsche Ungl denken!
manchmal lohnt es sich.
Schau Dir auch mal die Höldersche Ungleichung an. Auch die kann man dann und wann gebrauchen
FRED
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