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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge IL der Ungleichung
[mm] \bruch{x+1}{x+2}\le\bruch{x+3}{x+4}
[/mm]
und damit die ganzen Zahlen a und b , für die gilt: IL = ( [mm] -\infty, [/mm] a ) (b , [mm] +\infty [/mm] ) . |
Gerechnet habe ich wie folgt:
[mm] (x+1)*(x+4)\le(x+3)*(x+2)
[/mm]
[mm] x^2+5x+4\le x^2+5x+6
[/mm]
[mm] \bruch{x^2+5x+4}{x^2+5x+6}\le0
[/mm]
Nun dürfen ja sowohl Zähler als auch der Nenner nicht kleiner als Null werden.
- also erste zu lösende Gleichung: [mm] x^2+5x+6=0
[/mm]
- zweite: [mm] x^2+5x+4=0
[/mm]
Ergebnisse für die erste Gleichung:
[mm] x_{1}=-3
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
Für die Zweite:
[mm] x_{3}=-4
[/mm]
[mm] x_{4}=-1
[/mm]
Daher dachte ich nun, die Lösung wäre IL = ( [mm] -\infty, [/mm] -4 ) (-1 , [mm] +\infty [/mm] )
Laut Lösungsbuch ist aber die Lösung IL = ( [mm] -\infty, [/mm] -4 ) (-2 , [mm] +\infty [/mm] ) korrekt.
Wo ist der Fehler?
Danke im Voraus!! :)
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Hallo Matrin1988,
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge IL der Ungleichung
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> [mm]\bruch{x+1}{x+2}\le\bruch{x+3}{x+4}[/mm]
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> und damit die ganzen Zahlen a und b , für die gilt: IL = (
> [mm]-\infty,[/mm] a ) (b , [mm]+\infty[/mm] ) .
> Gerechnet habe ich wie folgt:
>
> [mm](x+1)*(x+4)\le(x+3)*(x+2)[/mm]
>
> [mm]x^2+5x+4\le x^2+5x+6[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^2+5x+4}{x^2+5x+6}\le0[/mm]
>
> Nun dürfen ja sowohl Zähler als auch der Nenner nicht
> kleiner als Null werden.
>
> - also erste zu lösende Gleichung: [mm]x^2+5x+6=0[/mm]
>
> - zweite: [mm]x^2+5x+4=0[/mm]
>
> Ergebnisse für die erste Gleichung:
>
> [mm]x_{1}=-3[/mm]
> [mm]x_{2}=-2[/mm]
>
> Für die Zweite:
>
> [mm]x_{3}=-4[/mm]
> [mm]x_{4}=-1[/mm]
>
> Daher dachte ich nun, die Lösung wäre IL = ( [mm]-\infty,[/mm] -4
> ) (-1 , [mm]+\infty[/mm] )
>
> Laut Lösungsbuch ist aber die Lösung IL = ( [mm]-\infty,[/mm] -4 )
> (-2 , [mm]+\infty[/mm] ) korrekt.
>
> Wo ist der Fehler?
Hier mußt Du eine Fallunterscheidung machen:
i) [mm] x > -2 [/mm]
[mm] \Rightarrow x+2 > 0, \ x+4 > 0[/mm]
ii) [mm] -4 < x < -2[/mm]
[mm] \Rightarrow x+2 < 0, \ x+4 > 0[/mm]
iii) [mm] x < -4[/mm]
[mm] \Rightarrow x+2 < 0, \ x+4 < 0[/mm]
>
> Danke im Voraus!! :)
Gruss
MathePower
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Tut mir leid, aber ich verstehe die Antwort nicht ..... :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Du solltest hier schon "etwas" genauer fragen, damit man Dir auch helfen kann.
Da bei einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muss, wenn man diese Ungleichung mit einem negativen Term multipliziert oder dividiert, musst Du zunächst untersuchen, ob dieser Term nun posotiv oder negativ ist.
In Deinem Fall kann sogar beides auftreten, so dass hier die o.g. Fallunterscheidung vollzogen werden muss.
Gruß
Loddar
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