Ungleichung Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:09 Sa 15.07.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | für f,g : [a,b] [mm] \to [/mm] R integrierbar wird <f,b>:= [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx} [/mm] definiert und dementsprechend
[mm] \parallel{f}\parallel [/mm] := [mm] \wurzel{}. [/mm]
Beweisen Sie die Ungleichung |<f,g>| [mm] \le \parallel{f}\parallel*\parallel{g}\parallel. [/mm] |
Hallo,
ich muss die Lösung der Aufgabe Mitte nächster Woche abgeben und brauche zur Beantwortung unbedingt Hilfe.
Eigentlich muss ich doch nur das Skalarprodukt und die Norm in die Ungleichung einsetzen und nachrechnen, dass die Ungleichung so gegeben ist.
Woher nehme ich dann die Norm von g?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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Hallo xsara,
kann es sein, dass da du deine Aufzeichnungen ein bisschen hastig angefertigt hast?
Nach meinen Erkenntnissen sollte es heißen:
> für [mm] f,g: \left[a,b\right]\to[/mm] R integrierbar wird
[mm]\left\langle f,\red{g} \right\rangle := \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}[/mm] definiert und
> dementsprechend
[mm]\parallel{f}\parallel:= \wurzel{\left\langle f,\red{f} \right\rangle}.[/mm]
> Beweisen Sie die Ungleichung [mm]|\left\langle f,g \right\rangle| \le \parallel{f}\parallel*\parallel{g}\parallel.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich muss die Lösung der Aufgabe Mitte nächster Woche
> abgeben und brauche zur Beantwortung unbedingt Hilfe.
>
> Eigentlich muss ich doch nur das Skalarprodukt und die Norm
> in die Ungleichung einsetzen und nachrechnen, dass die
> Ungleichung so gegeben ist.
> Woher nehme ich dann die Norm von g?
[mm]\fbox{\parallel{g}\parallel =\wurzel{\left\langle \blue{g,g} \right\rangle}= \wurzel{\integral_{a}^{b}{g^2(x) dx}}}[/mm]
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 So 16.07.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Karthagoras!
Gerne würde ich schreiben, dass ich mich geirrt habe. Das ist leider nicht der Fall.
Ich werde morgen den Dozenten mal fragen, ob er die Aufgabenstellung so meint, wie du sie aufgeschrieben hast.
Vielen Dank für deine Mühe!
Liebe Grüße
xsara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 So 16.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo xsara
Ich glaube, den Dozenten zu fragen, ist nicht nötig. Eine Norm ist immer auch als Skalarprodukt definiert. es gibt also immer ein Skalarprodukt, so dass gilt
|| f || = [mm] \wurzel{}
[/mm]
Ein kleiner Tipp noch, schau dir mal die Definition der Länge eines Vektors,wie ihr sie in der Oberstufe berechnet habt an, und vergleiche sie mit dem damals bekannten Skalarprodukt.
Gruss
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Marius,
> Ich glaube, den Dozenten zu fragen, ist nicht nötig. Eine
> Norm ist immer auch als Skalarprodukt definiert. es gibt
> also immer ein Skalarprodukt, so dass gilt
>
> || f || = [mm]\wurzel{}[/mm]
das stimmt so nicht! Es gibt Normen, die nicht von einem Skalarprodukt her kommen! (Etwa die Supremumsnorm.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo xsara!
> Gerne würde ich schreiben, dass ich mich geirrt habe. Das
> ist leider nicht der Fall.
> Ich werde morgen den Dozenten mal fragen, ob er die
> Aufgabenstellung so meint, wie du sie aufgeschrieben hast.
Das $b$ bei [mm] $\langle [/mm] f, b [mm] \rangle$ [/mm] in der Aufgabenstellung ist definitiv ein Tippfehler, es soll $g$ heissen. Und bei [mm] $\| [/mm] f [mm] \|$ [/mm] soll es definitiv [mm] $\sqrt{\langle f, f \rangle}$ [/mm] heissen.
Die Ungleichung, die du zeigen sollst, hat uebrigens einen Namen: Es ist die Ungleichung von Cauchy-Schwarz.
Fuer diese gibt es uebrigens einen ziemlich schoenen Beweis, der nur benoetigt, das man ein (euklidisches) Skalarprodukt vorliegen hat (so wie in deinem Fall). Dafuer (falls $f, g$ linear unabhaengig sind; der andere Fall ist sehr einfach) rechnest du [mm] $\langle \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g, [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] fuer passende Konstanten [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] aus, benutzt dass dies [mm] $\ge [/mm] 0$ ist (positive Definitheit) und teilst durch einen passenden Faktor [mm] ($\neq [/mm] 0$), und schon hast du die gesuchte Ungleichung dort stehen. Wenn du mehr Details brauchst, sag Bescheid (oder schau in ein gutes LinA-Buch :) )...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
Mal einen allgemeinen Kommentar. Was genau meinst du mit `integrierbaren Funktionen'? (eigentlich/uneigentlich) Riemann-integrierbar? Wenn ja, kann es sein dass das gar kein Skalarprodukt ist (siehe die Diskussion hier, insb. den Kommentar von Eckhard Maaß (SEcki))! In diesem Fall muss man bei dem Beweis, den ich beschrieben hab, noch etwas mehr aufpassen (ich denke aber er sollte trotzdem gehen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
die Aufgabe hätte einfacher so lauten können:
"Beweise die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |f*g| [mm] \le||f||*||g||".
[/mm]
Was sagen die anderen dazu? Habe ich etwas wichtiges übersehen?
Viele Grüße
didi_160
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