Ungleichung beweisen < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n mit [mm] n\ge31
[/mm]
[mm] n^{2}<(\bruch{5}{4})^n
[/mm]
gilt |
Schönen Abend.
Der Induktionsanfang passt, aber ich habe Probleme beim Schritt:
n->n+1
[mm] (n+1)^{2}<(\bruch{5}{4})^{n+1}
[/mm]
Meine Schritte:
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}+2n+1 [/mm]
^Hier meine Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
[mm] (\bruch{5}{4})^{n+1}=(\bruch{5}{4})^{n}*(\bruch{5}{4})
[/mm]
Nur kann ich jetzt nicht weiter vereinfachen, so dass ich eine sinnvolle Aussagenkette bilden kann.
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}*(\bruch{5}{4})=(\bruch{5}{4})^{n+1}
[/mm]
So solls zum Schluss aussehen, kann mir aber nicht vorstellen, dass dieser Beweis schon fertig ist.
[mm] (\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}*(\bruch{5}{4})
[/mm]
Dieser Ausdruck bereitet mir Kopfschmerzen, da nicht sofort herausgeht, dass diese Ungleichung für alle n>31 wahr ist.
Kann mir wer helfen und mir erklären, was noch fehlt, oder ob das so in Ordnung gehen würde?
Danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:48 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle
> natürlichen Zahlen n mit [mm]n\ge31[/mm]
> [mm]n^{2}<(\bruch{5}{4})^n[/mm]
> gilt
> Schönen Abend.
>
> Der Induktionsanfang passt, aber ich habe Probleme beim
> Schritt:
>
> n->n+1
> [mm](n+1)^{2}<(\bruch{5}{4})^{n+1}[/mm]
> Meine Schritte:
> [mm](n+1)^{2}=n^{2}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}+2n+1[/mm]
> ^Hier meine Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
> [mm](\bruch{5}{4})^{n+1}=(\bruch{5}{4})^{n}*(\bruch{5}{4})[/mm]
>
> Nur kann ich jetzt nicht weiter vereinfachen, so dass ich
> eine sinnvolle Aussagenkette bilden kann.
>
> [mm](n+1)^{2}=n^{2}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}*(\bruch{5}{4})=(\bruch{5}{4})^{n+1}[/mm]
> So solls zum Schluss aussehen, kann mir aber nicht
> vorstellen, dass dieser Beweis schon fertig ist.
> [mm](\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}*(\bruch{5}{4})[/mm]
Diese Ungl. ist gleichbedeutend mit:
[mm] 8n+4<(\bruch{5}{4})^{n}
[/mm]
Für welche n ist
8n+4 [mm] \le n^2 [/mm] ?
FRED
> Dieser Ausdruck bereitet mir Kopfschmerzen, da nicht
> sofort herausgeht, dass diese Ungleichung für alle n>31
> wahr ist.
> Kann mir wer helfen und mir erklären, was noch fehlt,
> oder ob das so in Ordnung gehen würde?
> Danke schon mal
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> Diese Ungl. ist gleichbedeutend mit:
>
> [mm]8n+4<(\bruch{5}{4})^{n}[/mm]
>
Hmm...das verstehe ich jetzt nicht so richtig. Warum sollten die gleichbedeutend sein?
>
> Für welche n ist
>
> 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ?
Für alle [mm] n\ge9
[/mm]
Aber ich weiß wirklich nicht, wie mir das weiterhelfen soll?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> > Diese Ungl. ist gleichbedeutend mit:
> >
> > [mm]8n+4<(\bruch{5}{4})^{n}[/mm]
> >
> Hmm...das verstehe ich jetzt nicht so richtig. Warum
> sollten die gleichbedeutend sein?
$ [mm] (\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}\cdot{}(\bruch{5}{4}) [/mm] $
[mm] \gdw [/mm]
2n+1 < [mm] (\bruch{5}{4})^{n}(\bruch{5}{4}-1)
[/mm]
> >
> > Für welche n ist
> >
> > 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ?
>
> Für alle [mm]n\ge9[/mm]
> Aber ich weiß wirklich nicht, wie mir das weiterhelfen
> soll?
Wenn 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ist, so ist nach I.V.:
[mm]8n+4<(\bruch{5}{4})^{n}[/mm]
FRED
> >
> > FRED
>
>
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>
> [mm](\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}\cdot{}(\bruch{5}{4})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> 2n+1 < [mm](\bruch{5}{4})^{n}(\bruch{5}{4}-1)[/mm]
Ok, jetzt ist es einleuchtend
>
> > >
> > > Für welche n ist
> > >
> > > 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ?
> >
> > Für alle [mm]n\ge9[/mm]
> > Aber ich weiß wirklich nicht, wie mir das weiterhelfen
> > soll?
>
> Wenn 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ist, so ist nach I.V.:
>
> [mm]8n+4<(\bruch{5}{4})^{n}[/mm]
Ja, das klingt auch einleuchtend, aber ich weiß nicht so recht, wie ich das hier in meinen Beweis einbringen soll. Muss ich das nur argumentieren, oder wirklich 2 mal die IV einsetzen? Das haben wir noch nie gemacht.
>
> FRED
> > >
> > > FRED
> >
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> [mm](\bruch{5}{4})^{n}+2n+1<(\bruch{5}{4})^{n}\cdot{}(\bruch{5}{4})[/mm]
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > 2n+1 < [mm](\bruch{5}{4})^{n}(\bruch{5}{4}-1)[/mm]
>
> Ok, jetzt ist es einleuchtend
> >
> > > >
> > > > Für welche n ist
> > > >
> > > > 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ?
> > >
> > > Für alle [mm]n\ge9[/mm]
> > > Aber ich weiß wirklich nicht, wie mir das
> weiterhelfen
> > > soll?
> >
> > Wenn 8n+4 [mm]\le n^2[/mm] ist, so ist nach I.V.:
> >
> > [mm]8n+4<(\bruch{5}{4})^{n}[/mm]
>
> Ja, das klingt auch einleuchtend, aber ich weiß nicht so
> recht, wie ich das hier in meinen Beweis einbringen soll.
> Muss ich das nur argumentieren,
zeige induktiv: 8n+4 $ [mm] \le n^2 [/mm] $ für alle $ [mm] n\ge9 [/mm] $
> oder wirklich 2 mal die IV
> einsetzen?
Ja, zweimal IV.
> Das haben wir noch nie gemacht.
Na und, irgendwann mal hast Du ja auch Deine erste Cola getrunken.
FRED
> >
> > FRED
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > >
> >
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