Ungleichung, e funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | e < [mm] (\frac{k}{k-1})^k
[/mm]
Warum gilt die Ungleichung? |
Hallo
[mm] (\frac{ k}{k-1})^k [/mm] = [mm] (\frac{1}{\frac{k-1}{k}})^k [/mm] = [mm] (\frac{1}{1-1/k})^k
[/mm]
Ich weiß für k-> [mm] \infty [/mm] geht [mm] (1+1/k)^k [/mm] gegen e
dh. [mm] lim_{k->\infty} (1-1/n)^n [/mm] = 1/e
[mm] lim_{k->\infty} (\frac{1}{1-1/k})^k [/mm] = e
Aber das ist ja nicht das was ich wissen will ;)
LG
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Hallo,
die Folge
[mm] \left(\bruch{k}{k-1}\right)^k
[/mm]
ist streng monoton fallend. Wenn es dir gelingt, dies zu zeigen, hast du (zusammen mit dem Grenzwert) die Behauptung gezeigt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke für die ANtwort.
Wie mache ich das am besten mit der Monotonie, das weiß ich nie so genau.
Könntest du mir einen Ansatz geben?
LG
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Hallo quasimo,
> Danke für die ANtwort.
> Wie mache ich das am besten mit der Monotonie, das weiß
> ich nie so genau.
> Könntest du mir einen Ansatz geben?
Na, Du musst zeigen: [mm] \left(\bruch{k+1}{k}\right)^{k+1}<\left(\bruch{k}{k-1}\right)^k
[/mm]
Probiers mal, es ist nicht so schwer, wie es aussieht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
SO recht mag es mir nicht gelingen:
$ [mm] \left(\bruch{k+1}{k}\right)^{k+1}<\left(\bruch{k}{k-1}\right)^k [/mm] $
<=>
[mm] (k+1)^{k+1} (k-1)^{k} [/mm] < [mm] k^{k+1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> SO recht mag es mir nicht gelingen:
>
> [mm]\left(\bruch{k+1}{k}\right)^{k+1}<\left(\bruch{k}{k-1}\right)^k[/mm]
> <=>
> [mm](k+1)^{k+1} (k-1)^{k}[/mm] < [mm]k^{k+1}[/mm]
Das kann ich mir vorstellen.
Etwas einfacher ginge es, wenn der Exponent auf der rechten Seite stimmte:
[mm] (k+1)^{k+1}(k-1)^k
Aber auch dann...
...braucht man wohl noch Bernoulli. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hei,
ich krieg es leider noch nicht ganz hin:
[mm] \frac{(\frac{k+1}{k})^{k+1}}{(\frac{k}{k-1})^k}= \frac{(k+1)^{k+1}* (k-1)^k}{k^{k+1}k^k} [/mm] = [mm] (\frac{(k+1)*(k-1)}{k^2})^{k+1} [/mm] * [mm] \frac{k}{k-1} [/mm] = [mm] (1+(-1/k^2))^{k+1} *\frac{k}{k-1} [/mm] > [mm] (1-\frac{k+1}{k^2}) [/mm] * [mm] \frac{k}{k-1} [/mm] = [mm] \frac{k}{k-1} [/mm] - [mm] \frac{k+1}{k^2-k}
[/mm]
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Hallo quasimo,
> Hei,
> ich krieg es leider noch nicht ganz hin:
>
> [mm]\frac{(\frac{k+1}{k})^{k+1}}{(\frac{k}{k-1})^k}= \frac{(k+1)^{k+1}* (k-1)^k}{k^{k+1}k^k}[/mm]
> = [mm](\frac{(k+1)*(k-1)}{k^2})^{k+1}[/mm] * [mm]\frac{k}{k-1}[/mm] =
> [mm](1+(-1/k^2))^{k+1} *\frac{k}{k-1}[/mm] > [mm](1-\frac{k+1}{k^2})[/mm] *
> [mm]\frac{k}{k-1}[/mm] = [mm]\frac{k}{k-1}[/mm] - [mm]\frac{k+1}{k^2-k}[/mm]
Für die Bernoulliungleichung brauchst du doch die andere Richtung:
zz.: [mm]\left(\frac{k}{k-1}\right)^k\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k+1}>1[/mm]
Es ist [mm]\left(\frac{k}{k-1}\right)^k\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k+1} \ = \ \left[\left(\frac{k}{k-1}\right)^k\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k}\right]\cdot{}\frac{k}{k+1}[/mm]
[mm]=\left(\frac{k^2}{k^2-1}\right)^k\cdot{}\frac{k}{k+1}=\left(1+\frac{1}{k^2-1}\right)^k\cdot{}\frac{k}{k+1}[/mm]
[mm]\ge \ \left[1+\frac{k}{k^2-1}\right]\cdot{}\frac{k}{k+1}[/mm] nach Bernoulli
Nun bringe in der ersten Klammer alles auf einen Nenner, multipliziere dann aus, dann siehst du, dass der Term [mm]>1[/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo schachuzipus und quasimo,
etwas einfacher ist es, Bernoulli auf die $k+1$-te statt auf die $k$-te Potenz loszulassen:
$\left(\frac k {k-1}\right)^k * \left(\frac k {k+1}\right)^{k+1$
$=\frac {k-1} k * \left(\frac {k^2 } {k^2-1}\right)^{k+1}$
$= \frac {k-1} k *\left(1+\frac 1 {k^2-1}\right)^{k+1}$
$> \frac {k-1} k * \left(1+ \frac 1 {k-1}\right)=\frac {k-1} k * \frac k {k-1} = 1$.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 So 26.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke ;)
Schönen Sonntag,
LG,
quasimo
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