Ungleichung von Bruchtermen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Nixmathe |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] < [mm] \bruch{2}{x-2} [/mm] |
Mein Lösungsansatz sah folgendermaßen aus:
[mm] D:Q\setminus{-1;2}
[/mm]
erst die Ungleichung - [mm] \bruch{2}{x-2} [/mm]
dann erhalte ich [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{x-2} [/mm] < 0
Anschließend mit dem gemeinsamen Nenner (x+1) * (x-2) multiplizieren.
Nun muss ich doch die Fälle unterscheiden:
1. Fall: (x+1) (x-2) < 0
2. Fall: (x+1) (x-2) > 0
Aber wie rechne ich dann weiter und vor allem wie ermittle ich die Lösungsmenge?
Mein Weg scheint falsch zu sein:
[mm] \bruch{1(x-2)-2(x+1)}{(x+1)(x-2)} [/mm] < 0
ergibt ausmultipliziert
[mm] \bruch{-x-4}{(x+1)(x-2)} [/mm] < 0
multipliziert mit dem gemeinsamen Nenner bleibt
-x-4 < 0 das ganze +x
wäre meine Lösung -4 < x
Aber die stimmt nicht laut Lösungsbuch, da steht leider kein Rechenweg dabei, darum weiß ich nicht wo mein Fehler liegt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Nixmathe,
Herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] < [mm]\bruch{2}{x-2}[/mm]
> Mein Lösungsansatz sah folgendermaßen aus:
> [mm]D:Q\setminus{-1;2}[/mm]
>
> erst die Ungleichung - [mm]\bruch{2}{x-2}[/mm]
>
> dann erhalte ich [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] - [mm]\bruch{2}{x-2}[/mm] < 0
>
> Anschließend mit dem gemeinsamen Nenner (x+1) * (x-2)
> multiplizieren.
>
> Nun muss ich doch die Fälle unterscheiden:
>
> 1. Fall: (x+1) (x-2) < 0
> 2. Fall: (x+1) (x-2) > 0
Bis hierhin ist alle korrekt. Nun mache Dir noch klar, für welche x diese Bedingungen erfüllt sind.
Fall 1: $ (x+1) (x-2) < 0 [mm] \gdw [/mm] -1<x<2 $ Klar, warum?
Für die restlichen x-Werte gilt Fall 2
>
> Aber wie rechne ich dann weiter und vor allem wie ermittle
> ich die Lösungsmenge?
>
> Mein Weg scheint falsch zu sein:
>
> [mm]\bruch{1(x-2)-2(x+1)}{(x+1)(x-2)}[/mm] < 0
>
> ergibt ausmultipliziert
>
>
> [mm]\bruch{-x-4}{(x+1)(x-2)}[/mm] < 0
>
> multipliziert mit dem gemeinsamen Nenner bleibt
>
> -x-4 < 0 das ganze +x
Das gilt aber nur für die x-Werte von Fall 2. Wenn Du mit einem negativen Term multiplizierst, musst Du das Ungleichheitszeichen ändern.
>
> wäre meine Lösung -4 < x
Jetzt musst Du noch sehen, für welche x-Werte $ (x+1)(x-2) > 0 [mm] \wedge [/mm] -4<x $ gilt.
>
> Aber die stimmt nicht laut Lösungsbuch, da steht leider
> kein Rechenweg dabei, darum weiß ich nicht wo mein Fehler
> liegt.
Vielleicht kommst Du mit diesen Hinweisen bereits weiter. Sonst melde Dich
Gruß
Sigrid
PS Wir freuen uns auch immer über eine freundliche Begrüßung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Nixmathe |
| Aufgabe | | Fall 1: $ (x+1) (x-2) < 0 [mm] \gdw [/mm] -1<x<2 $ |
Hallo Sigrid,
danke für den freundlichen Empfang, für meine Unhöflichkeit bitte ich um Entschuldigung. Seit Tagen versuch ich auf die Matheklausur zu lernen und schon beim ersten Thema stimmt keine Aufgabe, dabei kommen noch 4 Themen und die Note ist extrem wichtig.
Aber zurück zur Aufgabe, mir ist das nicht klar, für mich ist es doch
x+1 < 0 => x < -1
x-2 < 0 => x < 2
warum ist das -1<x<2 ?
Danke für Deine Bemühungen.
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Hallo Nixmathe,
> Fall 1: [mm](x+1) (x-2) < 0 \gdw -1
> Hallo Sigrid,
>
> danke für den freundlichen Empfang, für meine Unhöflichkeit
> bitte ich um Entschuldigung. Seit Tagen versuch ich auf die
> Matheklausur zu lernen und schon beim ersten Thema stimmt
> keine Aufgabe, dabei kommen noch 4 Themen und die Note ist
> extrem wichtig.
>
> Aber zurück zur Aufgabe, mir ist das nicht klar, für mich
> ist es doch
>
> x+1 < 0 => x < -1
>
> x-2 < 0 => x < 2
>
> warum ist das -1<x<2 ?
Da Du hier [mm]x+1 < 0[/mm] und [mm]x-2<0[/mm] hast,
gilt für das Produkt: [mm]\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0[/mm]
Zurück zu Fall 1: [mm]\left(x+1\right) \left(x-2\right) < 0[/mm]
Hier gibt es wieder eine Fallunterscheidung:
a) [mm]x+1<0 \wedge x-2>0 \Rightarrow L_{1}=\left\{\right\}[/mm]
b) [mm](x+1)>0 \wedge (x-2)<0 \Rightarrow L_{2}=\left\{ x \left | -1
Somit ist [mm]\left(x+1\right) \left(x-2\right) < 0[/mm], wenn [mm]-1
>
> Danke für Deine Bemühungen.
Gruß
MathePower
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