Unterbestimmtes LGS (2 x 4) < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben sie alle Lösungen des LGS an. |
Hallo!
Wir haben als Aufgabe folgeneds LGS bekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -4 & 3 \\ 3 & 9 & -2 & -11 \\ 4 & 12 & -6 & -8 \\ 2 & 6 & 2 & -14 } \vmat{9 \\ -3 \\ 6 \\ -12}
[/mm]
(Das soll eine erweiterte Koeffizientenmatrix darstellen, besser hab ichs nicht hingekriegt)
Das ganze konnte ich soweit umformen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} \vmat{9 \\ -30 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Wie kann ich jetzt die Parameterdarstellung der Lösung angeben? ich komme mit den 2 freien Variablen nicht ganz klar.
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Hallo Egga-oerks,
> Geben sie alle Lösungen des LGS an.
> Hallo!
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> Wir haben als Aufgabe folgeneds LGS bekommen:
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> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -4 & 3 \\ 3 & 9 & -2 & -11 \\ 4 & 12 & -6 & -8 \\ 2 & 6 & 2 & -14 } \vmat{9 \\ -3 \\ 6 \\ -12}[/mm]
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> (Das soll eine erweiterte Koeffizientenmatrix darstellen,
> besser hab ichs nicht hingekriegt)
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> Das ganze konnte ich soweit umformen:
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> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} \vmat{9 \\ -30 \\ 0 \\ 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das erhalte ich auch, du kannst in Zeile 2 noch durch 10 teilen ...
[mm] $\pmat{ 1 & 3 & -4 & 3&\mid & 9 \\ 0 & 0 & 1 & -2&\mid&-3 \\ 0 & 0 & 0 & 0&\mid&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0&\mid&0}$
[/mm]
Nun kannst du in Zeile 2 zB [mm] $x_4=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$ [/mm] wählen.
Dann ist [mm] $1\cdot{}x_3-2\cdot{}x_4=-3$, [/mm] also [mm] $x_3=2t-3$
[/mm]
Dann weiter in Zeile 1, setze zB. [mm] $x_2=s, s\in\IR$, [/mm] dann hast du [mm] $x_1+3x_2-4x_3+3x_4=9$, [/mm] also [mm] $x_1=9-3s+4(2t-3)-3t=-3s+5t-3$
[/mm]
Also ist ein Lösungsvektor von der Gestalt: [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-3s+5t-3\\s\\2t-3\\t}=s\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...}+t\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...}+\vektor{...\\...\\...\\...} [/mm] \ [mm] ,s,t\in\IR$
[/mm]
Die kleinen Lücken fülle mal aus ...
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> Wie kann ich jetzt die Parameterdarstellung der Lösung
> angeben? ich komme mit den 2 freien Variablen nicht ganz
> klar.
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LG
schachuzipus
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Danke für deine Hilfe!
Ich komme dann auf
$ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-3s+5t-3\\s\\2t-3\\t}=s\cdot{}\vektor{-3\\1\\0\\0}+t\cdot{}\vektor{5\\0\\2\\1}+\vektor{-3\\0\\-3\\0} [/mm] \ [mm] ,s,t\in\IR [/mm] $
Eine Frage habe ich hier noch: Wenn ich so ein 2x4-System habe, kann ich dann davon ausgehen, dass es zwei freie Variablen gibt und theoretisch beliebige [mm] x_n [/mm] = s, t oder sonstwas setzen, so lange diese im LGS nicht genau bestimmt sind?
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Hallo Egga-oerks,
Deine Lösung ist richtig zusammengefasst.
> Eine Frage habe ich hier noch: Wenn ich so ein 2x4-System
> habe, kann ich dann davon ausgehen, dass es zwei freie
> Variablen gibt und theoretisch beliebige [mm]x_n[/mm] = s, t oder
> sonstwas setzen, so lange diese im LGS nicht genau bestimmt
> sind?
Die Einschränkung des letzten Nebensatzes ist noch unpräzise. Ansonsten lautet die Antwort: ja.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 & | & 3 \\ 3 & 6 & 12 & 0 & | & 9 \\ 7 & 14 & 28 & 0 & | & 21 \\ 4 & 8 & 16 & 1 & | & 5 \\ }
[/mm]
Hier wirst Du nicht umhin kommen, [mm] x_4=-7 [/mm] anzuerkennen. Von den übrigen drei Variablen sind dann zwei frei wählbar.
Meinst Du sowas mit Deinem "so lange diese im LGS nicht genau bestimmt sind"?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Egga-oerks |
Ja, genau das meinte ich. Danke!
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