Unterräume beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 22.10.2009 | | Autor: | v0nny |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei V={{f:ℝ→ℝ} mit wertweiser Addition und skalarer Mulitplikation definiert.
U:={f ∈ V|f(x)>0 ∀ x∈ ℝ} |
Soll beweisen ob U ein Vektorraum von V? Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben? Hab diese Beweise echt noch nicht drauf!
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-von-Unterraum-von-V
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Hallo vOnny und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
>
> Sei [mm] $V=\{f:\IR\to\IR\}$ [/mm] mit wertweiser Addition und skalarer Mulitplikation definiert.
> [mm] $U:=\{f \in V \mid f(x)>0 \, \forall x\in\IR\}$
[/mm]
> Soll beweisen ob $U$ ein Vektorraum von $V$?
Du meinst, ob $U$ ein Untervektorraum von $V$ ist !
> Kann mir da
> vielleicht jemand einen Tipp geben? Hab diese Beweise echt
> noch nicht drauf!
Damit du das lernst, ist dieses Bsp. ja gedacht 
Ich gebe dir einen Tipp:
Es gibt 3 Unterraumkriterien, die es nachzuweisen bzw. von denen eines zu widerlegen ist, um zu zeigen, dass $U$ ein UVR von $V$ ist bzw. dass es kein UVR von $V$ ist.
Mein Tipp ist folgender:
Das 1.Kriterium lautet: [mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] bzw. gleichwertig [mm] $0\in [/mm] U$
wobei $0$ den Nullvektor bezeichnet, das ist hier die Nullfunktion [mm] $0:\IR\to\IR:x\mapsto [/mm] 0$
Ist die in $U$? Kann $U$ also ein UVR von $V$ sein?
Ok, das führt schnell dazu, dass $U$ kein UVR von $V$ ist.
Versuche als Übung mal, für das dritte Kriterium, also die Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] ein Gegenbsp. zu finden.
Suche eine Funktion $f$ in $U$ und eine reelle Zahl [mm] $\lambda$, [/mm] so dass [mm] $(\lambda\cdot{}f)(x)\le [/mm] 0$ ist für (mind.) ein [mm] $x\in\IR$
[/mm]
> Danke schonmal!
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-von-Unterraum-von-V
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 22.10.2009 | | Autor: | v0nny |
Hey,
ja genau meinte eigentlich Untervektorraum!
Ähm also ist U kein UVR von V?
Aber danke für deinen Tipp!!!
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Hallo nochmal,
> Hey,
> ja genau meinte eigentlich Untervektorraum!
> Ähm also ist U kein UVR von V?
Ja!
> Aber danke für deinen Tipp!!!
Gerne, aber suche wirklich mal zum 3.Kriterium ein Gegenbsp., das bringt dir was, wenn es um ähnliche Aufgaben geht ...
Kannst ja, wenn du magst, (d)ein Gegenbsp. posten ...
Liebe Grüße
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 22.10.2009 | | Autor: | v0nny |
hey schachuzipus,
danke für deine Antwort, aber ganz ehrlich ich komme damit immer noch nicht klar!
Ich weiß zwar, dass ich diese Untervektorraumkriterien anwenden muss aber ich weiß nicht wie ich das auf dieses Beispiel anwende! Also mit der Theorie klappt das aber bei der Praxis scheitert das immer!
Wäre also nett wenn du mir das vllt mal detailiert für dieses Beispiel zeigen könntest!
Und zwar nicht, damit ich das einfach nur abschreiben kann sonder damit ich mal sehe wie das genau geht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Do 22.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich bin nicht schachuzipus, aber ich denke , Du gestattest auch mir, dass ich Dir ein Beispiel liefere:
Setze $f(x) := [mm] x^2+1$ [/mm] und $g(x) := [mm] 2x^2+234$
[/mm]
Beide Funktionen sind auf [mm] \IR [/mm] durchweg > 0, also: $f,g [mm] \in [/mm] U$
Wenn U ein Untervektorraum von V wäre, so wäre auch $f-g [mm] \in [/mm] U$
Nun ist aber $ (f-g)(x) = [mm] -x^2 [/mm] -233$, also ist f-g auf [mm] \IR [/mm] immer <0, somit:
$f-g [mm] \notin [/mm] U$
U kann also kein Untervektorraum von V sein !
FRED
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Hi,
bin auch wieder da
Ich dachte an ein ganz einfaches Gegenbsp.:
Etwa die konstante Funktion [mm] $f:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 1$
Die ist ja sicher in $U$, denn [mm] $\forall x\in\IR$ [/mm] ist $f(x)>0$
Dann nimm dir [mm] $\lambda=-1\in\IR$ [/mm] her.
Damit ist [mm] $(\lambda\cdot{}f)(x)=-1$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] die Funktion [mm] $\lambda\cdot{}f$ [/mm] also nicht mehr in $U$.
Damit ist die Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Skalaren verletzt und $U$ kein UVR von $V$
Gruß
schachuzipus
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