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Untersuchen von Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Untersuchen von Funktionen: Surjektivität und Injektivität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:03 So 09.12.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Aufgabe
Untersuchen Sie nachfolgende Funktionen auf Surjektivität und Injektivität:
[mm] {f}_{1} [/mm] : [mm] \mathbb{C} \setminus\{0\} \to \mathbb{C} \setminus\{0\}, z\to \frac{1}{z} [/mm]
[mm] {f}_{2} [/mm] : [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\to z+\overline{z} [/mm]
[mm] {f}_{3} [/mm] : [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\to\sin^8(z) [/mm] - [mm] \sin^5(z) [/mm] + [mm] \sqrt{13}*sin^4(z) [/mm] + [mm] \pi [/mm]
[mm] {f}_{4} [/mm] : [mm] \mathbb{C} \setminus\{1\} \to \mathbb{C}, z\to\frac{1+z}{1-z} [/mm]



Hoffe das mir jemand hierüber helfen kann zu der Aufgabe. Undzwar geht es darum wie man komplexe Funktionen auf Surjektivität und Injektivität untersucht, bei reellen Funktionen ist mir das bereits bekannt. Im komplexen kenne ich das noch gar nicht.

Hoffe das mir jemand helfen kann.
VG :)

        
Bezug
Untersuchen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 So 09.12.2018
Autor: Gonozal_IX

HIho,

> Hoffe das mir jemand hierüber helfen kann zu der Aufgabe.
> Undzwar geht es darum wie man komplexe Funktionen auf
> Surjektivität und Injektivität untersucht, bei reellen
> Funktionen ist mir das bereits bekannt. Im komplexen kenne
> ich das noch gar nicht.

das unterscheidet sich nicht im geringsten.
Wie hast du das denn im reellen gemacht? Wende das hier ebenso an.

Zusätzlich solltest du dann noch wissen, dass gilt $z = [mm] \text{Re}(z) [/mm] + [mm] i\cdot \text{Im}(z)$ [/mm] und daher jede komplexe Zahl eindeutig durch Angabe des Real- und Imaginärteils bestimmt ist (und umkehrt).

Nun noch ein paar Tipps zu den Einzelaufgaben:
[mm] $f_1$: [/mm] wie würdest du das im rellen zeigen? Das geht hier ganz genauso. Injektivität direkt über die Definition, Surjektivität über die Angabe des (trivialen) Urbilds.

[mm] $f_2$: [/mm] Schreibe [mm] $f_2$ [/mm] mal mit Hilfe des oben erwähnten Real- und Imaginärteils von z. Kann die Funktion dann injektiv o. surjektiv sein?

[mm] $f_3$: [/mm] Beachte  freds Antwort hier

[mm] $f_4$: [/mm] Belies dich mal zur []Möbius-Transformation

Gruß,
Gono

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