Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Di 29.11.2011 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen vom [mm] \IR^3 [/mm] sind Untervektorraume von [mm] \IR^3? [/mm] Gib für alle Teilmengen die ein Untervektorraum sind auch eine Basis an.
a) [mm] U_{3} [/mm] := {(x,y,z) [mm] \varepsilon \IR^3 [/mm] | x=y oder x=z }
b) [mm] U_{4} [/mm] := {(x,y,z) [mm] \varepsilon \IR^3 [/mm] | x=y und x=z } |
Hallo liebes Forum,
hab hier zwei Aufgaben und bin mir sehr unsicher ob ich dass so schreiben kann!!
Also zu a) hab ich mir ein Gegenbeispiel überlegt mit 2 Vektoren :
[mm] v_{1} \vektor{1 \\ 1 \\ 2}, v_{2} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Laut Definition muss ja gelten x,y [mm] \varepsilon [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \varepsilon [/mm] U
Wenn ich nun [mm] v_{1}+v_{2} [/mm] rechne bekomme ich [mm] v_{3} \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
und hier ist [mm] x\not=y [/mm] und [mm] x\not=z [/mm] somit ist [mm] v_{3} \not\varepsilon [/mm] U
So bei Aufgabe b) müsste [mm] U_{4} [/mm] ein Untervektorraum sein
Also prüfe ich zu erst ob (0/0/0) enthalten ist:
Da x=y=z für x =0 eingesetzt (0/0/0) ist in [mm] U_{4}
[/mm]
Jetzt zur Addition:
Da bin ich mir nicht sicher aber da ich ja eigentlich nur x habe dachte ich mir
x+y+z= x+x+x [mm] \varepsilon [/mm] U
Bei der Multiplikation gitl:
[mm] x\varepsilonU [/mm] und [mm] \lambda \varepsilon \IR^3 \Rightarrow x*\lambda \varepsilon [/mm] U
und dass müsste ja gelten nur wie zeige ich dass??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Jetzt zur Addition:
> Da bin ich mir nicht sicher aber da ich ja eigentlich nur x habe dachte ich mir
x+y+z= x+x+x $ [mm] \varepsilon [/mm] $ U
x, y und z sind ja reelle Zahlen. Also ist auch ihre Summe eine reelle Zahl und kein Vektor aus dem [mm] $\IR^3$. [/mm] Also kann sie auch nicht in U sein.
Die Frage ist, ob für
[mm] $\vektor{x_1\\ y_1\\ z_1}, \vektor{x_2\\ y_2\\ z_2} \in U_4$
[/mm]
auch deren Summe in [mm] $U_4$ [/mm] ist. Wie sieht denn die Summe von den 2 Vektoren aus?
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] U_4:
[/mm]
[mm] U_4=\{(x,x,x): x \in \IR\}= \{t(1,1,1): t \in \IR\}
[/mm]
FRED
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