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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 03.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | Es sei folgende Funktion gegeben:
f: [mm] \IR\to\IR [/mm] , [mm] x\mapsto \begin{cases} -12, & \mbox{falls x<-5} \\ -x^2-2x+3, & \mbox{falls -5} \le \mbox{x} \le \mbox{3}\\ -3x-3, & \mbox{falls x>3} \end{cases}
[/mm]
Ermitteln Sie zu jedem [mm] y\in\IR [/mm] das Urbild [mm] f^{-1}(y) [/mm] von y unter f. |
Hi,
Ich weiß nicht wirklich was hier gefragt ist und habe bisher nur eine Vermutung. Ich habe es bisher in dieser Form:
Fall 1:
y=-12
f: [mm] [-\infty, -5)\to\IR
[/mm]
[mm] f^{-1}(-12) [/mm] = x<-5
Fall 2:
[mm] y=-x^2-2x+3
[/mm]
f: [-5, [mm] 3]\to\IR
[/mm]
[mm] f^{-1}(-x^2-2x+3)=\sqrt{-y+4} [/mm] -1
Fall3:
y=-3x-3
[mm] f:(3,\infty]\to\IR
[/mm]
[mm] f^{-1}(-3x-3)=\bruch{-y+3}{3}
[/mm]
Wie gesagt, ich weiß nicht wirklich was hierbei gefragt ist und ob mein Ansatz in die richtige Richtung geht. Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sarah88,
> Ich weiß nicht wirklich was hier gefragt ist und habe
> bisher nur eine Vermutung.
Zu bestimmen ist [mm] $f^{-1}(\{y\})=\{x\in\IR\;|\;f(x)=y\}$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR$, [/mm] also zu jedem y die Menge der x, die auf y abgebildet werden. Am Ende sollte man z.B. für $y=-7$ auf einen Blick [mm] $f^{-1}(\{y\})$ [/mm] ablesen können.
Bei dieser Funktion f, die ja stückweise aus relativ einfachen Funktionen zusammengesetzt ist, würde ich zu einer Skizze des Graphen raten. Dann sieht man auf einen Blick, für welche y in welchem der drei Bereiche Werte x liegen, die auf y abgebildet werden.
Bestimme als Hilfsmittel zur Skizze den Scheitelpunkt der durch [mm] $-x^2-2x+3$ [/mm] gegebenen Parabel, die Funktionswerte an den Stellen x=-5 und x=3 sowie den Wert von -3x-3 an der Stelle -3.
> Fall 1:
> y=-12
> f: [mm][-\infty, -5)\to\IR[/mm]
> [mm]f^{-1}(-12)[/mm] = x<-5
Die Menge [mm] $f^{-1}(\{12\})$ [/mm] enthält auf jeden Fall alle Zahlen x<5. Sie enthält aber noch mehr Elemente (die sich aus den anderen Fällen ergeben).
Wenn du [mm] $f^{-1}(\{12\})=\ldots$ [/mm] schreibst, sollte anstelle der Pünktchen auch eine Menge stehen! Weiter unten gilt Analoges.
> Fall 2:
> [mm]y=-x^2-2x+3[/mm]
> f: [-5, [mm]3]\to\IR[/mm]
> [mm]f^{-1}(-x^2-2x+3)=\sqrt{-y+4}[/mm] -1
Hier hast du eine Lösung der Gleichung [mm] $y=-x^2-2x+3$ [/mm] für x unterschlagen.
Die spannende Frage ist nun: Für welche y gehören die Lösungen für x tatsächlich zu [mm] $f^{-1}(\{y\})$? [/mm] Zu untersuchen wäre, für welche y welche Lösung für x im Intervall [-5,3] liegt. An der Skizze sieht man das sofort.
> Fall3:
> y=-3x-3
> [mm]f:(3,\infty]\to\IR[/mm]
> [mm]f^{-1}(-3x-3)=\bruch{-y+3}{3}[/mm]
Die spannende Frage ist wieder die analoge.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 04.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
ok, das hat mir schonmal weiter geholfen, danke ;)
erstmal zum ersten fall:
[mm] f^{-1} [/mm] ( {-12} ) = {-5,3} [mm] \cup [/mm] {x [mm] \in \IR [/mm] | x<-5}
wäre das so korrekt?
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Hallo,
> ok, das hat mir schonmal weiter geholfen, danke ;)
>
> erstmal zum ersten fall:
>
> [mm] f^{-1}( [/mm] {-12} ) = {-5,3} [mm] \cup\{x\in\IR | x<-5\}
[/mm]
>
> wäre das so korrekt?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 04.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
juhu^^
für anderen beiden habe ich jetzt folgendes:
[mm] f^{-1} [/mm] ( { y [mm] \in \IR [/mm] | 4 [mm] \ge [/mm] y [mm] \ge [/mm] -21 } \ { -12 } ) = { x [mm] \in \IR [/mm] | -6 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6}
und
[mm] f^{-1} [/mm] ( { y [mm] \in \IR [/mm] | y < -21 } ) = { x [mm] \in \IR [/mm] | x >6 }
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Hallo,
ich verstehe nicht, was es mit der -21 auf sich hat. Diese Unterscheidung ist IMO falsch.
Hier mal ein GeoGebra-Plot der Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 So 04.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
ich hatte mich bei meiner skizze vertan :)
jetzt habe ich es verstanden, danke :)
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