Variable gesucht/ Betragsfkt. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Finden sie passendes x, sodass
|1-x| und |1-4x| betragsmäßig möglichst klein sind. Dabei ist x > 0 . |
Huhu,
auf die Lösung bin ich gekommen einfach durch ausprobieren mit Einsetzen, also beste Lösung ist x = 0,4 . Gibt es auch einen richtigen Errechnungsweg dazu oder muss man das so durch Ausprobieren machen? (darf keine Hilfsmittel benutzen)
Liebe Grüße
Eve ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 29.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Finden sie passendes x, sodass
> |1-x| und |1-4x| betragsmäßig möglichst klein sind.
> Dabei ist x > 0 .
> Huhu,
>
> auf die Lösung bin ich gekommen einfach durch ausprobieren
> mit Einsetzen, also beste Lösung ist x = 0,4 . Gibt es
> auch einen richtigen Errechnungsweg dazu oder muss man das
> so durch Ausprobieren machen? (darf keine Hilfsmittel
> benutzen)
>
>
> Liebe Grüße
>
> Eve ;)
Hallo
Soll die Summe der beiden Beträge minimal werden?
Dann suchst du also das Minimum der Funktion
$f(x)=|1-x|+|1-4x|$
mit der Bedinung, dass x>0.
Nehmen wir erstmal die Betragsfunktion her:
[mm]|y|=\begin{cases} y, & \mbox{fuer } y\geq0 \\
-y, & \mbox{fuer } y<0 \end{cases}[/mm]
Hier also:
[mm]|1-x|=\begin{cases} 1-x, & \mbox{fuer } 1-x\geq0\Leftrightarrow 1\geq x \\
-(1-x)=x-1, & \mbox{fuer } 1-x<0\Leftrightarrow 1
bzw:
[mm]|1-4x|=\begin{cases} 1-4x, & \mbox{fuer } 1-4x\geq0\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq x \\
-(1-4x)=4x-1, & \mbox{fuer } 1-4x<0\Leftrightarrow \frac{1}{4}
Betrache die Funktion $f(x)=|1-x|+|1-4x|$ also auf folgenden Intervallen:
[mm] I_{1}=\left(0;\frac{1}{4}\right)
[/mm]
[mm] I_{2}=\left[\frac{1}{4};1\right)
[/mm]
und
[mm] I_{3}=\left[1;\infty\right)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
> Finden sie passendes x, sodass
> |1-x| und |1-4x| betragsmäßig möglichst klein sind.
> Dabei ist x > 0 .
> Huhu,
>
> auf die Lösung bin ich gekommen einfach durch ausprobieren
> mit Einsetzen, also beste Lösung ist x = 0,4 . Gibt es
> auch einen richtigen Errechnungsweg dazu oder muss man das
> so durch Ausprobieren machen? (darf keine Hilfsmittel
> benutzen)
>
>
> Liebe Grüße
>
> Eve ;)
Hallo Eve,
du meinst wohl nicht, dass die Summe der beiden
Beträge minimal werden soll (so hat Marius deine
Frage interpretiert), sondern: das Maximum der
beiden Beträge soll minimal werden.
Habe ich das richtig verstanden ?
Zur Lösung würde ich zunächst einen zeichnerischen
Ansatz machen. Die Benützung von kariertem Papier
und Bleistift ist ja wohl doch zugelassen, oder etwa
nicht ?? 
Mach dir also zuerst eine Zeichnung der Graphen
für [mm] y_1=|1-x| [/mm] und [mm] y_2=|1-4x| [/mm] . Da der interessante
Bereich nahe beim Nullpunkt liegt, empfehle ich
dir einen großen Maßstab, z.B. 20 Häuschen für
eine Einheit auf beiden Achsen.
Es ist dann leicht, auch den Graph für [mm] y_3:=max(y_1 [/mm] , [mm] y_2)
[/mm]
einzuzeichnen und zu schauen, an welcher Stelle
diese Funktion ihren minimalen Wert annehmen
muss. Für die exakte Lokalisation ist dann noch
eine kleine Rechnung erforderlich (Schnittpunkt
von 2 Geraden berechnen).
LG, Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> > Finden sie passendes x, sodass
> > |1-x| und |1-4x| betragsmäßig möglichst klein sind.
> > Dabei ist x > 0 .
> > Huhu,
> >
> > auf die Lösung bin ich gekommen einfach durch ausprobieren
> > mit Einsetzen, also beste Lösung ist x = 0,4 . Gibt es
> > auch einen richtigen Errechnungsweg dazu oder muss man das
> > so durch Ausprobieren machen? (darf keine Hilfsmittel
> > benutzen)
> >
> >
> > Liebe Grüße
> >
> > Eve ;)
>
>
> Hallo Eve,
>
> du meinst wohl nicht, dass die Summe der beiden
> Beträge minimal werden soll (so hat Marius deine
> Frage interpretiert), sondern: das Maximum der
> beiden Beträge soll minimal werden.
>
> Habe ich das richtig verstanden ?
Ja sorry genauso ist es, allerdings ist die Aufgabenstellung wirklich nicht so klar^^
> Zur Lösung würde ich zunächst einen zeichnerischen
> Ansatz machen. Die Benützung von kariertem Papier
> und Bleistift ist ja wohl doch zugelassen, oder etwa
> nicht ??
denke ja^^
> Mach dir also zuerst eine Zeichnung der Graphen
> für [mm]y_1=|1-x|[/mm] und [mm]y_2=|1-4x|[/mm] . Da der interessante
> Bereich nahe beim Nullpunkt liegt, empfehle ich
> dir einen großen Maßstab, z.B. 20 Häuschen für
> eine Einheit auf beiden Achsen.
>
> Es ist dann leicht, auch den Graph für [mm]y_3:=max(y_1[/mm] ,
> [mm]y_2)[/mm]
> einzuzeichnen und zu schauen, an welcher Stelle
> diese Funktion ihren minimalen Wert annehmen
> muss. Für die exakte Lokalisation ist dann noch
> eine kleine Rechnung erforderlich (Schnittpunkt
> von 2 Geraden berechnen).
also gleichsetzen von |1-x| und |1-4x| ? aber ich find da kommt nicht wirklich was sinnvolles raus^^
> LG, Al-Chwarizmi
>
>
|
|
|
| |
|
> > Es ist dann leicht, auch den Graph für [mm]y_3:=max(y_1[/mm] ,
> > [mm]y_2)[/mm]
> > einzuzeichnen und zu schauen, an welcher Stelle
> > diese Funktion ihren minimalen Wert annehmen
> > muss. Für die exakte Lokalisation ist dann noch
> > eine kleine Rechnung erforderlich (Schnittpunkt
> > von 2 Geraden berechnen).
> also gleichsetzen von |1-x| und |1-4x| ? aber ich find da
> kommt nicht wirklich was sinnvolles raus^^
Die Graphen von y=|1-x| und y=|1-4x| sind jeweils
aus zwei Geradenstücken zusammengesetzt. Aus der
Zeichnung ist zu ersehen, welches Stück von jeder
der beiden Funktionen man nehmen muss, um zum
gesuchten Schnittpunkt (mit dem minimalen y-Wert)
zu kommen.
LG, Al-Chw.
|
|
|
|
