Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Do 20.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Man löse die Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten
a) [mm]y'-2xy=-4x[/mm] mit [mm]y(0)=3[/mm] |
Könnte mal bitte jemand drüber schauen ob ich das so richtig gemacht habe?
[mm]\bruch{dy}{dx} = 2xy[/mm] |* dx ; :y
[mm]\bruch{dy}{y} = 2x dx[/mm]
[mm] \integral\frac{dy}{y}\, [/mm] dx = [mm] \integral 2x\,dx
[/mm]
[mm] ln(y)=x^2+C [/mm] |* e
[mm]y = e^{x^2+C }= e^{x^2}*e^C = k * e^{x^2}[/mm]
[mm]y=z(x)*e^{x^2}[/mm]
[mm] ( y' = z'*e^{x^2} + z * 2xe^{x^2})[/mm]
[mm]+(-2y = - z * 2xe^{x^2})[/mm]
------------------------------------------
[mm]y'-2y=z'*e^{x^2}[/mm] |y'-2y soll -4x sein
[mm]z'*e^{x^2}=-4x[/mm] [mm] |*e^{-x^2}
[/mm]
[mm]z'=e^{-x^2}-4x[/mm]
[mm]\integral z'\, dx = \integral e^{-x^2}-4x\,dx[/mm]
[mm]z=e^{-x^2}-2x^2+C[/mm]
Alle Lösungen von [mm]y'-2xy=-4x[/mm] erfüllen
[mm] y=(e^{-x^2}-2x^2+C)*e^{x^2}
[/mm]
C aus y=3 für x = 0 bestimmen
[mm]3=(e^{-0^2}-2*0^2+C)*e^{0^2}[/mm]
[mm]3=1+C[/mm]
[mm]C = 2[/mm]
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Hallo Vertax,
> Man löse die Differentialgleichungen mittels Variation der
> Konstanten
>
> a) [mm]y'-2xy=-4x[/mm] mit [mm]y(0)=3[/mm]
> Könnte mal bitte jemand drüber schauen ob ich das so
> richtig gemacht habe?
>
> [mm]\bruch{dy}{dx} = 2xy[/mm] |* dx ; :y
>
> [mm]\bruch{dy}{y} = 2x dx[/mm]
>
> [mm]\integral\frac{dy}{y}\,[/mm] dx = [mm]\integral 2x\,dx[/mm]
>
> [mm]ln(y)=x^2+C[/mm] |* e
>
> [mm]y = e^{x^2+C }= e^{x^2}*e^C = k * e^{x^2}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]y=z(x)*e^{x^2}[/mm]
>
> [mm]( y' = z'*e^{x^2} + z * 2xe^{x^2})[/mm]
> [mm]+(-2y = - z * 2xe^{x^2})[/mm]
>
> ------------------------------------------
> [mm]y'-2y=z'*e^{x^2}[/mm] |y'-2y soll -4x sein
>
> [mm]z'*e^{x^2}=-4x[/mm] [mm]|*e^{-x^2}[/mm]
> [mm]z'=e^{-x^2}-4x[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]z'=e^{-x^2}\blue{\*}\left(-4\right)[/mm]
> [mm]\integral z'\, dx = \integral e^{-x^2}-4x\,dx[/mm]
>
> [mm]z=e^{-x^2}-2x^2+C[/mm]
>
> Alle Lösungen von [mm]y'-2xy=-4x[/mm] erfüllen
> [mm]y=(e^{-x^2}-2x^2+C)*e^{x^2}[/mm]
>
> C aus y=3 für x = 0 bestimmen
>
> [mm]3=(e^{-0^2}-2*0^2+C)*e^{0^2}[/mm]
> [mm]3=1+C[/mm]
> [mm]C = 2[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 20.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Oh stimmt, da ist mir ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen.
Aber ansonsten ist das soweit korrekt?
Ich müsste dann nur noch das Integral
[mm] \integral z'\, [/mm] dx = [mm] \integral e^{-x^2}*(-4x)\,dx
[/mm]
lösen?
Also:
Alle Lösungen von y'-2xy=-4x erfüllen
[mm] y=(2xe^{x^2}+C)*e^{x^2}
[/mm]
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> Oh stimmt, da ist mir ein Flüchtigkeitsfehler
> unterlaufen.
>
> Aber ansonsten ist das soweit korrekt?
> Ich müsste dann nur noch das Integral
> [mm]\integral z'\,[/mm] dx = [mm]\integral e^{-x^2}*(-4x)\,dx[/mm]
>
> lösen?
>
> Also:
>
> Alle Lösungen von y'-2xy=-4x erfüllen
> [mm]y=(2xe^{x^2}+C)*e^{x^2}[/mm]
>
>
bei dem exponenten in der klammer fehlt noch n vorzeichen
ansonsten passts dann
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 20.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Mhh ok das Verstehe ich nicht.
Wieso fehlen da n-Vorzeichen und wie stelle ich n vorzeichen denn da?
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> Mhh ok das Verstehe ich nicht.
> Wieso fehlen da n-Vorzeichen und wie stelle ich n
> vorzeichen denn da?
du wolltest [mm] \[-4\,x\,{e}^{-{x}^{2}}\] [/mm] integrieren.. dabei wechselt der exponent beim integrieren aber nicht das vorzeichen
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 20.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ach Logisch hab beim Integrieren aufem Blatt es minus verschusselt.
Danke schön
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