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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Di 27.11.2007 | | Autor: | Elli1501 |
| Aufgabe | Es sei [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] die Menge der Abbindungen f: [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
Darauf sei die Operation + durch (f+g)(x) = f(x) + g(x) für [mm] f,g:\IR \to \IR [/mm] definiert.
a) Man zeige, dass [mm] (Abb(\IR,\IR),+) [/mm] über [mm] \IR [/mm] mit (t [mm] \circ [/mm] f)(x)= t*f(x) ein Vektorraum ist.
b) Man zeige, dass [mm] \IR[x] [/mm] ein Untervektorraum ist. |
(der Kringel bei a) soll eigentlich ein fett gedrucktes "MAL" darstellen)
ok, folgendes:
kann ich bei a) für f(x) usw einfach Vektoren einsetzen (für den Beweis)
also, wenn ich zuerst die Gruppenaxiome beweisen möchte, würde ich mir jetzt u,v,w [mm] \in [/mm] V definieren, und nach der gegebenen Def. in der Aufgabenstellung beweisen:
(u+v+w)(V)= u(V)+v(V)+w(V) ? oder nur (u+v)+w = u+(v+w) ????
welche Form soll ich denn da nehmen?
(aber eigentlich ist der Beweis doch hinfällig, weil die Operation + auf den Reellen Zahlen sowieso ne abelsche Gruppe ist, oder?)
naja, nun zu den Vektorraumaxiomen (gleiches Problem): ist f(x) in dem Falle ein Vektor?
wenn jetzt (V1) mit l,k [mm] \in [/mm] K und [mm] w\in [/mm] V ist: also
l(kw)= (lk)w ist zu beweisen: wie bringe ich da die Konstante t unter?
bin echt überfragt.
b)da würde ich jetzt mal so pauschal sagen, dass es sich um einen UVR handelt, weil die Abb. ja von [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR [/mm] ist, und so mit [mm] \IR[x] [/mm] auf jeden Fall eine nichtleere teilmenge davon ist und es bezüglich der + und [mm] \circ [/mm] abgeschlossen ist. Kann man das so einfach sagen?
Wäre echt nett, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte!
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm] die Menge der Abbindungen f: [mm]\IR \to \IR.[/mm]
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> Darauf sei die Operation + durch (f+g)(x) = f(x) + g(x) für
> [mm]f,g:\IR \to \IR[/mm] definiert.
>
> a) Man zeige, dass [mm](Abb(\IR,\IR),+)[/mm] über [mm]\IR[/mm] mit (t [mm]\circ[/mm]
> f)(x)= t*f(x) ein Vektorraum ist.
> b) Man zeige, dass [mm]\IR[x][/mm] ein Untervektorraum ist.
> (der Kringel bei a) soll eigentlich ein fett gedrucktes
> "MAL" darstellen)
>
> ok, folgendes:
> kann ich bei a) für f(x) usw einfach Vektoren einsetzen
> (für den Beweis)
>
> also, wenn ich zuerst die Gruppenaxiome beweisen möchte,
> würde ich mir jetzt u,v,w [mm]\in[/mm] V definieren, und nach der
> gegebenen Def. in der Aufgabenstellung beweisen:
>
> (u+v+w)(V)= u(V)+v(V)+w(V) ?
Hallo,
ich weiß gar nicht, was das bedeuten soll...
Zunächst einmal muß man sich davon überzeugen, daß das Ergebnis der Verknüpfung + wieder eine Abb. von [mm] \|R \to \IR [/mm] ist.
Das ist der Fall.
Für die Assoziativität ist zu zeigen, daß für alle f,g,h [mm] \in Abb(\IR,\IR)
[/mm]
(*) (f+g)+h=f+(g+h) gilt.
Was bedeutet diese Gleichheit?
Für alle [mm] x\in \IR [/mm] ist ((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x) , denn zwei Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen übereinstimmen.
Wenn Du zeigen kannst, daß das stimmt, ist (*) bewiesen. Natürlich spielen hier Eigenschaften der reellen Zahlen eine große Rolle, sei Dir jedoch stets drüber im Klaren, daß es Dein Ziel ist, Aussagen über Funktionen zu beweisen.
> (aber eigentlich ist der Beweis doch hinfällig, weil die
> Operation + auf den Reellen Zahlen sowieso ne abelsche
> Gruppe ist, oder?)
Hinfällig ist er nicht, s.o., aber er ist dadurch recht einfach.
>
> naja, nun zu den Vektorraumaxiomen (gleiches Problem): ist
> f(x) in dem Falle ein Vektor?
Nein, ist ja f(x) für alle x eine reelle Zahl, und Du betrachtest einen Raum v. Abbildungen.
Die f,g,h usw. [mm] \in Abb(\IR,\IR) [/mm] sind Deine Vektoren - vorausgesetzt natürlich, es handelt sich wirklich um einen Vektorraum, das wollen wir ja erst zeigen.
Du mußt zwischen der Funktion und den Funktionswerten unterscheiden.
> wenn jetzt (V1) mit l,k [mm]\in[/mm] K und [mm]w\in[/mm] V ist: also
> l(kw)= (lk)w ist zu beweisen: wie bringe ich da die
> Konstante t unter?
> bin echt überfragt.
Oben, wo Du [mm] \circ [/mm] erklärst, erklärst Du die Multiplikation mit Skalaren, also mit Elementen des dem VR zugrundeliegenden Körpers. Dieser ist hier [mm] \IR.
[/mm]
Zu zeigen ist also für [mm] k,l\in \IR [/mm] und [mm] f\in Abb(\IR,\IR) [/mm] : [mm] l\circ(k\circ [/mm] f)= [mm] (lk)\circ [/mm] f. (Überlege Dir, warum ich bei lk kein [mm] \circ [/mm] geschrieben habe!)
>
> b)da würde ich jetzt mal so pauschal sagen, dass es sich um
> einen UVR handelt, weil die Abb. ja von [mm]\IR[/mm] auf [mm]\IR[/mm] ist,
> und so mit [mm]\IR[x][/mm] auf jeden Fall eine nichtleere teilmenge
> davon ist und es bezüglich der + und [mm]\circ[/mm] abgeschlossen
> ist. Kann man das so einfach sagen?
Du liegst richtig, aber
man muß diese drei Dingelchen beweisen.
Gruß v. Angela
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