Vektorraum von Abbildungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mi 13.12.2006 | | Autor: | bob86a |
| Aufgabe | Sei $V = [mm] \{f : \IR^3 \to \IR^2 \mbox{ mit } f(x) = Ax : A \in \IR^{2 \times 3} \}$, [/mm] d.h. $V$ ist die Menge aller Abbildungen $f : [mm] \IR^3 \to \IR^2$, [/mm] die sich darstellen lassen als $f(x) = Ax$ für eine $2 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix $A$.
1) Zeigen Sie, dass $V$ ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen.
2) Geben Sie eine Basis von $V$ an.
3) Zeigen Sie, dass [mm] $\dim_{\IR}(V) [/mm] = 6$. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich komme bei der Aufgabe nicht so richtig in Gange ;)
Also 1. ging denke ich noch ganz gut. Da wollte ich einfach die Definition für einen Vektorraum prüfen. Also:
Vektoraddition [mm] \to [/mm] +: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit f+g = (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Skalarmultiplikation [mm] \to [/mm] *: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] * f = [mm] (\lambda [/mm] * f)(x) = [mm] \lambda [/mm] * f(x)
Damit hätte ich die Verknüpfungen ja schon mal gezeigt. Für die eigenschaften hätte ich mir dann gedacht:
( f(x) = Ax )
- 1 * f = 1 * (Ax) = Ax = f
- [mm] (\lambda \odot \mu) [/mm] * f = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] * f)
- [mm] (\lambda \oplus \mu) [/mm] * f = [mm] \lambda*f [/mm] + [mm] \mu*f
[/mm]
- [mm] \lambda [/mm] * (f + g) = [mm] \lambda*f [/mm] + [mm] \lambda*g
[/mm]
Damit wäre 1) meines erachtens erledigt.
Bei 2) weiß ich aber nun nicht so recht, wie ich das machen soll. Wie viele Vektoren brauch ich da überhaupt? Also ich hatte mir überlegt einen 3x1 Vektor und ein A, also eine 2x3 Matrix... Aber irgendwie ist mein Mitbewohner da nicht für... Eine bessere Idee hat er aber auch nicht und von daher stehe ich hier gerade ziemlich auf dem Schlauch :(
Wie funktioniert das nun genau? Jemand eine Idee?
Ich vermute außerdem, dass mit zu 3) nichts einfällt, weil ich 2) noch nicht so wirklich erfasst habe... :(
Über eine kleine Hilfestellung würde ich mich sehr freuen! :D
Lg,
Bernd
|
|
| |
|
> Sei [mm]V = \{f : \IR^3 \to \IR^2 \mbox{ mit } f(x) = Ax : A \in \IR^{2 \times 3} \}[/mm],
> d.h. [mm]V[/mm] ist die Menge aller Abbildungen [mm]f : \IR^3 \to \IR^2[/mm],
> die sich darstellen lassen als [mm]f(x) = Ax[/mm] für eine [mm]2 \times 3[/mm]-Matrix
> [mm]A[/mm].
> 1) Zeigen Sie, dass [mm]V[/mm] ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist mit der
> üblichen Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen.
> 2) Geben Sie eine Basis von [mm]V[/mm] an.
> 3) Zeigen Sie, dass [mm]\dim_{\IR}(V) = 6[/mm].
> Also 1. ging denke ich noch ganz gut. Da wollte ich
> einfach die Definition für einen Vektorraum prüfen. Also:
>
> Vektoraddition [mm]\to[/mm] +: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] mit f+g = (f+g)(x) =
> f(x) + g(x)
> Skalarmultiplikation [mm]\to[/mm] *: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] *
> f = [mm](\lambda[/mm] * f)(x) = [mm]\lambda[/mm] * f(x)
Hallo,
Du meinst das Richtige, aber so wie Du es aufgeschrieben hast, stimmt es nicht:
Dein Verknüpfung + soll ja Elemente von V miteinander verknüfen, und das Ergebnis wieder ein Element aus V sein.
Ähnlich für *
Also
+: Für alle f,g [mm] \in [/mm] V sei f+g definiert durch (f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle x [mm] \in \IR^3
[/mm]
* : Für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] und für alle f [mm] \in [/mm] V sei [mm] \lambda*f [/mm] definiert durch [mm] (\lambda*f)(x):=\lambda [/mm] f(x)
>
> Damit hätte ich die Verknüpfungen ja schon mal gezeigt.
Damit sind die Verknüpfungen definiert.
Sichern mußt Du noch, daß das Ergebnis der Verknüpfungen jeweils in V liegt, daß es sich wirklich um innere Verknüpfungen handelt.
Was bedeutet das? Es gibt 2x3-Matrizen B,C mit (f+g)(x)=Bx und [mm] (\lambda*f)(x)=Cx.
[/mm]
Außerdem muß gezeigt werden, daß (V,+) eine abelsche Gruppe ist.
> Für die eigenschaften hätte ich mir dann gedacht:
>
> - 1 * f = 1 * (Ax) = Ax = f
So kann das nicht dastehen: vor dem ersten Gleichheitszeichen steht eine Funktion, dahinter ein Vektor aus [mm] \IR^2, [/mm] und ganz zum Schluß wieder eine Funktion. Natürlich meinst du das Richtige:
Zu zeigen: 1*f=f.
Bew.: Sei x [mm] \in \IR^3
[/mm]
Es ist (1*f)(x)=1f(x)=f(x)
Also ist 1*f=f
> - [mm](\lambda \odot \mu)[/mm] * f = [mm]\lambda[/mm] * [mm](\mu[/mm] * f)
> - [mm](\lambda \oplus \mu)[/mm] * f = [mm]\lambda*f[/mm] + [mm]\mu*f[/mm]
> - [mm]\lambda[/mm] * (f + g) = [mm]\lambda*f[/mm] + [mm]\lambda*g[/mm]
>
> Damit wäre 1) meines erachtens erledigt.
Du hast bei den oberen drei Punkten nur aufgeschrieben, was Du zeigen mußt. Gezeigt ist aber noch nichts.
>
> Bei 2) weiß ich aber nun nicht so recht, wie ich das machen
> soll. Wie viele Vektoren brauch ich da überhaupt?
Mach Dir zunächst klar, wonach Du suchst...
Die Elemente (Vektoren) von V sind Funktionen einer bestimmten Machart.
Also wird auch die Basis aus Funktionen bestehen.
Du mußt Dir nun überlegen, aus welchen Funktionen Du jede andere Funktion aus V bauen kannst.
Wie sehen die Funktionen aus V aus? So [mm] f(x)=\pmat{ a & b & c \\ d & e & f }x
[/mm]
Nun überleg Dir mal, wie du [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f } [/mm] als Summe von 6 spärlich bestückten Matrizen darstellen kannst. Dies sollte Dich auf die richtige Spur bringen...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 14.12.2006 | | Autor: | bob86a |
Super, danke! Hab nun verstanden, wie ich das zeigen muss! :)
Die Basis wären dann doch einfach 6 Matrizen, wobei ein Element einer Matrix eine Funktion ist und alle weiteren Elemnte null sind, oder?
Die Dimension muss dann natürlich 6 sein, weil 6 Vektoren eben die Basis bilden. Oder sehe ich das falsch?
Gruß,
Bernd
|
|
|
| |
|
> Die Basis wären dann doch einfach 6 Matrizen, wobei ein
> Element einer Matrix eine Funktion ist und alle weiteren
> Elemnte null sind, oder?
Hallo,
möglicherweise meinst Du das Richtige:
Deine Basis besteht aus 6 (einfachen) Funktionen, aus denen Du alle anderen Funktionen zusammensetzen kannst.
Zu diesen 6 Funktionen gehören 6 Matrizen.
Als Basis kannst Du z.b. nehmen [mm] f_{11}mit f_{11}(x):=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }x, f_{21}(x):=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }x [/mm] usw.
Du mußt natürlich zeigen: Erzeugendensystem und linear unabhängig.
> Die Dimension muss dann natürlich 6 sein, weil 6 Vektoren
> eben die Basis bilden. Oder sehe ich das falsch?
Ja. Dimension ist ja die Anzahl der Basiselemente.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
