Vektorraumisomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 14.12.2015 | | Autor: | Joseph95 |
| Aufgabe | Sei
[mm] e_{1} [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, e_{2} [/mm] := [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, e_{3} [/mm] := [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \in \IR^{3}
[/mm]
die Standardbasis des [mm] \IR^{3}. [/mm] Betrachte den Untervektorraum U := [mm] \subseteq \IR^{3}, [/mm] also die x-y-Ebene. Zeige, dass ein Vektorraumisomorphismus [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^{3}/U \to \IR [/mm] gibt und beschreibe zu jedem Element z [mm] \in \IR [/mm] das eindeutige Urbild von z unter [mm] \gamma.
[/mm]
Hinweis: Das Urbild von z unter [mm] \gamma [/mm] ist dabei eine Restklasse [mm] \IR^{3}/U, [/mm] also eine Teilmenge des [mm] \IR^{3}. [/mm] Beschreibe diese Menge in Mengenschreibweise und gib eine geometrische Interpretation. |
Hey liebe Community,
ich komme nun mal wieder an meine Grenzen in Lineare Algebra. Ich versteh wirklich nicht, wie ich mit der Aufgabe anfangen soll, und wollte euch mal Fragen ob ihr mir vielleicht einen Ansatz bzw. eine Hilfestellung für einen Anfang geben könntet. Es ist mir bewusst, dass die Vektoren [mm] e_{1}, e_{2} [/mm] in U die x-y-Ebene aufspannen. Ich gehe mal davon aus, dass wenn ich nun [mm] R^{3}/U [/mm] als Restklasse betrachte, dass ich lediglich nur [mm] \IR [/mm] und zwar die z-Achse betrachte, oder?
Über hilft würde ich mich freuen.
Vg,
Joseph95
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:00 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei
> [mm]e_{1}[/mm] := [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, e_{2}[/mm] := [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, e_{3}[/mm]
> := [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \in \IR^{3}[/mm]
> die Standardbasis des
> [mm]\IR^{3}.[/mm] Betrachte den Untervektorraum U := [mm] \subseteq \IR^{3},[/mm]
> also die x-y-Ebene. Zeige, dass ein Vektorraumisomorphismus
> [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^{3}/U \to \IR[/mm] gibt und beschreibe zu jedem
> Element z [mm]\in \IR[/mm] das eindeutige Urbild von z unter
> [mm]\gamma.[/mm]
> Hinweis: Das Urbild von z unter [mm]\gamma[/mm] ist dabei eine
> Restklasse [mm]\IR^{3}/U,[/mm] also eine Teilmenge des [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Beschreibe diese Menge in Mengenschreibweise und gib eine
> geometrische Interpretation.
> Hey liebe Community,
>
> ich komme nun mal wieder an meine Grenzen in Lineare
> Algebra. Ich versteh wirklich nicht, wie ich mit der
> Aufgabe anfangen soll, und wollte euch mal Fragen ob ihr
> mir vielleicht einen Ansatz bzw. eine Hilfestellung für
> einen Anfang geben könntet. Es ist mir bewusst, dass die
> Vektoren [mm]e_{1}, e_{2}[/mm] in U die x-y-Ebene aufspannen. Ich
> gehe mal davon aus, dass wenn ich nun [mm]R^{3}/U[/mm] als
> Restklasse betrachte, dass ich lediglich nur [mm]\IR[/mm] und zwar
> die z-Achse betrachte, oder?
Na ja, Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm]\IR^{3}/U[/mm] eigentlich ist.
Sei V ein K-Vektorraum und U ein Untervektorraum. Auf V def. man eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] wie folgt:
$v [mm] \sim [/mm] w [mm] \gdw [/mm] v-w [mm] \in [/mm] U$.
Bezeichnen wir die zu $v [mm] \in [/mm] V $ geh. Äquivalenzklasse mit $[v]$, so ist also
[mm] $[v]=\{w \in V : w \sim v\}=\{v+u: u \in U\}=:v+U$
[/mm]
Dann ist [mm] V/U:=\{[v]: v \in V\}
[/mm]
Ist nun dim V endlich , [mm] \{b_1,...b_n\} [/mm] eine Basis von V und [mm] \{b_1,...,b_m\} [/mm] eine Basis von U (m<n), so überlege Dir, dass
[mm] \{[b_k]: k=m+1,...,n\}
[/mm]
eine Basis von V/U ist.
FRED
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> Über hilft würde ich mich freuen.
>
> Vg,
> Joseph95
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