Vereinigung 2-er Untergruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Do 28.10.2004 | | Autor: | chripi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich hab mal eine Frage. Uns wurde die Aufgabe gestellt:
Die Vereinigung zweier Untergruppen einer Gruppe G ist im allgemeinen keine Untergruppe von G. Zeigen sie dies durch Angabe eines Beispiels.
Das es zwei Untergruppen gibt, habe ich schon bewiesen. Mein Problem ist das Beispiel. Könnt ihr mir da Helfen?
Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 28.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schwierig wird es immer dann, wenn zwei Elemente von zwei verschiedenen Untergruppen aufeinanderprallen.
Dort hapert es dann meistens an der Abgeschlossenheit der Addition.
Im Fischer steht folgende Definition einer Untergruppe:
Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung [mm] $\cdot$ [/mm] und $G' [mm] \subset [/mm] G $ eine nichtleere Teilmenge. [mm] $G\,'$ [/mm] heißt Untergruppe, wenn für $a,b [mm] \in G\,'$ [/mm] auch [mm] $a\cdot [/mm] b [mm] \in G\,'$ [/mm] und [mm] $a^{-1} \in G\,'$. [/mm]
Ich konstruiere dir mal eine Gruppe G mit zwei Untergruppen:
[mm]\begin{matrix}
\cdot &|&0& a & b & c \\
0 &|& 0&a & b & c \\
a &|& a &0 & c& b \\
b &|& b & c & 0 & a \\
c &|& c & b & a & 0 \\
\end{matrix}[/mm]
dann ist [mm] $G_1 [/mm] := [mm] (\{0,a\}, \cdot)$ [/mm] eine Untergruppe und [mm] $G_2 [/mm] := [mm] (\{0,b\}, \cdot)$.
[/mm]
Du siehst aber ganz leicht, dass die Verknüpfung von $a,b [mm] \in ((G_1 \cup G_2), \cdot)$ [/mm] nicht in [mm] $(G_1 \cup G_2)$ [/mm] liegt. Damit ist die Abgeschlossenheit verletzt und die Vereinigung ist keine Untergruppe.
Ich hoffe du konntest es an diesem Beispiel sehen, was ich meine. Wenn nicht, frage bitte nach.
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Do 28.10.2004 | | Autor: | chripi |
Danke, mir ist es jetzt klarer geworden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Do 28.10.2004 | | Autor: | chripi |
Danke für deine Mühe. Mir ist es jetzt klarer geworden.
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