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Meine Aufgabe lautet: Es sei [mm] \IN [/mm] = {1,2,...} die Menge der natürlichen Zahlen, mit [mm] p_n [/mm] bezeichnen wir die n-te Primzahl (also [mm] p_1=2, p_2=3, [/mm] usw.). Definiere [mm] A_n [/mm] als die Menge der k [mm] \in \IN, [/mm] die durch [mm] p_n [/mm] teilbar sind (für alle n). es gilt dann etwa 12 [mm] \in A_2 [/mm] und 17 [mm] \not\in [/mm] A_133. Bestimmen Sie (mit Beweis) [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{ } A_n [/mm] sowie [mm] \bigcup_{n \in \IN}^{ }A_n.
[/mm]
Ich verstehe gar nicht, wieso 17 [mm] \not\in [/mm] A_133 ist? Könnte sich vielleicht jemand dieses Problemes annehmen? Ist bestimmt eine ganz schöne Aufgabe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 26.10.2005 | | Autor: | bobby |
Also erstmal kannst du dir ein paar Beispiele aufschreiben:
[mm] p_{1}=2 [/mm] dafür ist [mm] A_{1}={2,4,6,...}
[/mm]
[mm] p_{2}=3 [/mm] dafür ist [mm] A_{2}={3,6,9,...}
[/mm]
[mm] p_{3}=5 [/mm] dafür ist [mm] A_{3}={5,10,15,...}
[/mm]
usw.
Vielleicht siehst du so schon, dass 17 [mm] \not\in A_{333} [/mm] sein kann.
Dann kannst du jede Zahl durch eine Primfaktorzerlegung darstellen:
bsp: 100=2*50=2*2*5*5
allgemein: [mm] x=p_{1}*p_{2}*...
[/mm]
Mit diesem Ansatz kannst du zeigen, dass
[mm] \cup A_{n} [/mm] = [mm] \IN [/mm] \ {1}
und
[mm] \cap A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
ist.
Du musst bei dabei zeigen
x [mm] \in \cup A_{n} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] \ {1}
x [mm] \in \IN [/mm] \ {1} [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \cup A_{n}
[/mm]
und für den Schnitt genauso.
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Echt gut, wie du das erklärt hast, jetzt weiß ich, was damit gemeint ist. Vielen Dank.
Für den Schnitt muss ich dann jetzt also schreiben x [mm] \in \bigcap_{n \in\IN}^{ } A_n [/mm] => x [mm] \not\in \IN [/mm] => [mm] \emptyset
[/mm]
Und umgekehrt? Oder ist das so falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich mache dir den Beweis für den Durchschnitt mal vor:
Angenommen, es gäbe ein $x [mm] \in \bigcup\limits_{n \in \IN} A_n$.
[/mm]
Es sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] so gewählt, dass [mm] $p_n>x$. [/mm] Wegen $x [mm] \in A_n$ [/mm] müsste aber [mm] $p_n\vert [/mm] x$, also [mm] $p_n \le [/mm] x$ gelten, Widerspruch.
Daher folgt: [mm] $\bigcup\limits_{n \in \IN} A_n [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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