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| Aufgabe | 1) Zeigen Sie, dass in einem metrischen Raum der Durchschnitt von endlich
vielen und die Vereinigung von beliebig vielen oenen Mengen wieder offen ist.
2) Zeigen [mm] Sie:\cap_{k\in \mathbb N} {]\bruch{-1}{k}, 1+\bruch{1}{k}}[ [/mm] = [0,1]
d.h. der Durchschnitt unendlich vieler oener Mengen braucht nicht oen zu sein. |
also ich blicke d garnicht durch :-/ wär echt genial wenn mir da jemand helfen könnte!! vielen vielen dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 24.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo hallihallo,
diese Aufgabenstellung ist mal wieder ein typisches Beispiel dafür, dass der Lösungsweg davon abhängt, welche Mathematik dem Lösenden zur Verfügung steht. Die einfachste Lösung der Aufgabe 1 besteht nämlich in folgender Argumentation: jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum (mit der durch die Metrik induzierten Umgebungs-Topologie) und damit gelten die beiden zu beweisenden Eigenschaften offener Mengen (die sind nämlich Bestandteil der Definition eines topologischen Raumes).
Ich vermute aber mal, dass topologische Räume (noch) nicht behandelt wurden und daher obige Argumentation nicht benutzt werden kann. Gehen wir also zu Fuss vor.
Dazu brauchen wir erstmal die Definitin offener Mengen. Ich nehme an, eine Teilmenge O des metrischen Raumes [mm] (M,\rho), (\rho [/mm] ist die Metrik), ist offen, wenn jeder Punkt der Menge O eine Umgebung hat, die noch ganz in der Menge liegt. Dabei kann Umgebung auch als [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] gemeint sein. (Es gibt eine Fülle anderer möglicher Definitionen für Offenheit).
Um zu beweisen, dass der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist, reicht es zu zeigen, dass dies für zwei offene Mengen gilt (klar?!). Seien also A und B offene Mengen in M. Der Durchschnitt A [mm] \cap [/mm] B soll also wieder offen sein.
Dazu sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B. Da A offen, hat x eine [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] (mit Radius [mm] \epsilon_{1}), [/mm] die ganz in A liegt. Ebenfalls hat x eine [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] (mit Radius [mm] \epsilon_{2}), [/mm] die ganz in B liegt. (Situation mal aufzeichnen!)
Jetzt brauchst Du nur noch zu überlegen, wie die [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] zu wählen ist, die im Schnitt von A und B liegt (bedenke, dass die beiden obigen [mm] \epsilon-Umgebungen [/mm] denselben Mittelpunkt x haben).
Nun zur Vereinigung beliebig vieler offener Mengen.
Hier läuft die Argumentation etwa so: Sei x in der Vereinigung der (beliebig vielen) offenen Mengen. Dann liegt x mindestens in einer dieser an der Vereinigung beteiligten offenen Mengen, nennen wir sie O. Also gibt es eine [mm] \epsilon-Umgebung, [/mm] die ... (ab hier mal selber weiterdenken).
Zu Aufgabe 2:
Hierzu als Tipp folgendes: Zeichne die Intervalle mal auf und mache Dir klar, wie sie zueinander liegen und wie wohl der Durchschnitt von Ihnen aussieht (steht ja auch in der Aufgabe). Was ist zu zeigen? Formal exakt musst Du die Gleichheit zweier Mengen zeigen. Dies macht man, indem man zeigt, dass jedes Element der einen Menge auch in der anderen liegt und umgekehrt (also man zeigt [mm] \subseteq [/mm] und [mm] \supseteq). [/mm]
Dann mal los.
Gruß
Uli
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