Verlustverteilung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mo 16.04.2007 | | Autor: | sutcha |
Hallo,
ich habe eine Häufigkeitsverteilung von Schäden (Poisson-Verteilung) und eine Schadenshöhenverteilung (Lognormal-Verteilung). Nun simuliere ich ein paar Fälle (100000) mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation und zeichne mit an Hand der Ergebnisse einen Graphen. Die Verteilung schaut aus wie eine Normalverteilung mit einer leichten Rechtsschiefe.
Wie ist eine sog. Verlustverteilung verteilt? Normalverteilt oder poissonverteilt?
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
eine strikte Normalverteilung entfällt, da die Verluste stets positiv sind. Asymptotisch (zentraler Grenzwertsatz) kann es natürlich doch eine Normalverteilung sein. Ich weiß nicht, ob man die Verteilung genau angeben kann. Es sollte jedoch anschaulich eine Poissonverteilung drinstecken, da Du ja die Varianz der Lognormalverteilung gegen 0 laufen lassen kannst und dann sollte wieder der übliche Poissonprozeß mit konstanter Schadenhöe herauskommen, dessen Ergebnisse ja Poissonverteilt sind. Andererseits sollt für sehr kleine Zeiten die Lognormalverteilung herauskommen, denn dann tritt ja höchstens ein Schadensereignis ein.
Das Ergebnis muss also, falls es sich hinschreiben läßt, eine Mischung aus Poisson und lognormaler Verteilung sein.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
es scheint keine explizite Formel für Deine Verteilung zu geben. Das ist ja auch gut so, denn sonst wäre Dein Monte-Carlo-Programm nicht so sinnvoll, oder? Allerdings scheint es (nicht-MC) Rekursions-/Approximationsmethoden zur Bestimmung der Verteilung zu geben (Stichworte: Panjer-Klasse, Schadensversicherungsmathematik, Skripten von C.Hipp und T.Mack), aber ich habe eigentlich keine Ahnung von der Materie.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 16.04.2007 | | Autor: | sutcha |
Hallo Volker,
vielen Dank für dein Bemühen. Ich kenne mich in der Materie auch nicht besonders gut aus.
Die Monte-Carlo-Simulation soll mir ja "nur" 10000 verschiedene Fälle liefern, wie hoch der Schaden z.B. in einem Jahr sein kann. Je mehr Simulationen umso "genauer" wird der Erwartungswert. Gegen eine Verteilungsfunktion spricht daher nichts dagegen.
Für den Gesamtschaden verwende ich eine "Verknüpfung" aus Häufigkeit und Schadenshöhe, die Simulation soll mir nur eine Schätzung liefern. So sehe ich das jedenfalls :)
Jetzt fehlt mir nur die Berechnung zur Genauigkeit, d.h. ich brauche den Wert, der zu 99,9% eintrifft. Brauche ich dazu das Konfidenzintervall? Wie berechne ich dieses?
Sacha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Sacha,
wenn [mm] \lambda [/mm] die Intensität Deines Poissonporzeß ist und die Lognormalverteilung die Parameter [mm] \sigma [/mm] und [mm] \mu [/mm] hat, dann sollte Deine Verteilung sollte nach der Zeit t den Erwartungswert
[mm] \mu_1=t\lambda\mu
[/mm]
und die Varianz
[mm] \sigma_1=t\lambda^{2(\mu+\sigma^2)}
[/mm]
haben, falls ich mich nicht verrechnet habe. Wenn die Verteilung approximativ normal ist, sieht sie also wie die Normalverteilung zu den Parametern [mm] (\mu_1,\sigma_1) [/mm] aus und 99% der Werte liegen unterhalb von ca. [mm] 2.3\sigma_1+\mu_1 [/mm] (den Faktor schlägt man in einer Tabelle nach). Das Problem ist, ob Deine Verteilung wirklich normal ist, denn bei der Lognormalverteilung sind große Schäden ja relativ häufig im Vergleich zur Normalverteilung. D.h. Du müßtest diese Zahl noch nach oben korrigieren. Ich habe eigentlich immer noch keine Ahnung und alles obige habe ich mir zusammengegoogelt. Daher Vorsicht. Du kannst ja die Normalverteilung zu [mm] (\mu_1,\sigma_1) [/mm] mal mit dem Ergebnis Deiner Simulation vergleichen.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Es sollte
[mm]\sigma_1=t\lambda e^{2(\mu+\sigma^2)}[/mm]
heißen.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Di 17.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Noch eine Korrektur:
anstelle von
$ [mm] \mu_1=t\lambda\mu [/mm] $
sollte
$ [mm] \mu_1=t\lambda e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} [/mm] $
d.h. [mm] t\lambda [/mm] mal Erwartungswert der Lognormalverteilung dort stehen. Volker
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:20 Mi 18.04.2007 | | Autor: | sutcha |
Wie berechne ich das Quantil, das höher als 99,95% liegt? Ist das dasselbe?
Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:32 Mi 18.04.2007 | | Autor: | sutcha |
Ich hab mal einen Pseudo-Code geschrieben unter:
http://www.java-forum.org/de/viewtopic.php?p=284479#284479
Ich berechne das Produkt aus x- und y-Wert an einer Stelle x. Das füge ich einer Summe SUM hinzu. Den y-Wert an dieser Stelle, also die Wahrscheinlichkeit, addiere ich zu einer weiteren Summe PROBSUM. Das x fängt ab einem gewissen Wert an sich um 1 zu erhöhen und berechnet somit jede Stelle, bis die PROBSUM ungefähr 0.9995 ergibt.
Ich weiß, das es nicht besonders schön ist, aber so berechne ich doch dieses Quantil. Was meint ihr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 20.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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