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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:24 Mi 22.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo! Also aus einer früheren Aufgabe weiß ich Folgendes:
Angenommen, daß [mm] $\mu$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und v ein [mm] $\sigma$-endliches [/mm] Maß (beide auf den reellen Zahlen) und daß [mm] $v\ll\mu$. [/mm] Dann erfüllt die Radon-Nikodym-Ableitung f
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{v(x-h,x+h]}{\mu(x-h,x+h]}=f(x)$
[/mm]
on a set of [mm] $\mu$-measure [/mm] 1.
Nun möchte ich gerne folgende Aufgabe lösen:
Suppose that X has distribution [mm] $\mu$. [/mm] Now [mm] $P(A|X)(\omega)=f(X(\omega))$ [/mm] for some Borel function f. Show that
[mm] $\lim_{h \to 0}P(A|x-h
for x in a set of [mm] $\mu$-measure [/mm] 1.
(Roughly speaking, [mm] $P(A|x-h |
Ich habe mir dazu Folgendes überlegt. Mal schauen, ob ich es richtig verstanden habe! 
Zunächstmal geht es doch um die faktorisierte bedingte Erwartung in dem Sinne, dass [mm] $P(A|X)=E(\chi_A(\omega)|X)=g(X)$ [/mm] für eine Borelfunktion [mm] $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
[/mm]
Nun betrachte man
[mm] $P(A|x-h
Wenn man jetzt auf [mm] $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ [/mm] einmal die Verteilung [mm] $\mu$ [/mm] von X als Wahrscheinlichkeitsmaß hat, also [mm] $\mu(B)=P(\left\{X\in B\right\}), B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] und außerdem auf [mm] $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ [/mm] das Maß [mm] $v(B)=P(A\cap\left\{X\in B\right\})$ [/mm] für [mm] $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] betrachtet, so gilt doch, dass [mm] $\mu$ [/mm] und v zwei [mm] $\sigma$-endliche [/mm] Maße sind und zudem [mm] $v\ll\mu$.
[/mm]
Demnach kann man den Satz, den ich ganz oben zuerst zitiert habe, anwenden und erhält
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{v(C)}{\mu(C)}=f(x)$.
[/mm]
Da $f$ auch eine Borelfunktion ist (wie obige Funktion g), gilt nun, dass
$f(x)=P(A|X=x)$, man hat also eine andere Version, aber die beiden Versionen stimmen fast-sicher überein.
(Ich habe erst eine Funktion g gewählt, weil es ja wohl ziemlich unwahrscheinlich ist, dass man gleich die Version mit der Radon-Nikodym-Ableitung f erwischt... stattdessen habe ich lieber gezeigt, dass man dann zwei Versionen hat - und Versionen stimmen ja fast-sicher überein.)
So, das war's.
Vielleicht kann mir ja jemand ein Feedback geben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 24.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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