Verteilung(sfkt.), Dichte etc. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Peon |
Hallo zusammen,
ich habe nochmal einige Verständnisfragen.
Ich fange mal hinten an:
Eine integrierbare, nicht-negative Funtkion f heißt Dichte der ZV X bzw. ihrer Verteilung [mm] P_{x}, [/mm] wenn [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt:
P(a<X [mm] \le b)=P_{x}((a,b])=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
Es handelt sich also um ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Veteilung.
1. Frage: Gibt es sowas wie eine Dichte bei diskreten Verteilungen, also z.B. der Binomialverteilung? Wäre das dann die Summe [mm] \summe_{k=a}^{b}?
[/mm]
Bei Wikipedia stand, die Dichte kann auch Werte größer 1 annehmen, allerdings steht in meinem Skript, dass die Vor. [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1 [/mm] gelten muss. Ich dachte das Integral über der Dichte f(x) sei sowas wie die kumulative Verteilung der Verteilungsfunktion F(x), also z.B.:
F(x)=P(X [mm] \le x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Ich versuche gerade die Begriffe Verteilung, Verteilungsfkt., Dichte usw. zu sortieren und auf die gängigen diskreten und absolut-stetigen Verteilungen anzuwenden.
In der Hinsicht noch die Frage:
Ist für [mm] P_{T}=Exp(\lambda)=P_{T}((a,b))=\integral_{a}^{b}{\lambda*e^{- \lambda*t}dt}, \forall [/mm] (a,b) [mm] \subset [o,\infty) (\lambda [/mm] >0 fest) die Dichte [mm] f(x)=\lambda*e^{- \lambda*x}?
[/mm]
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Hiho,
> 1. Frage: Gibt es sowas wie eine Dichte bei diskreten
> Verteilungen, also z.B. der Binomialverteilung? Wäre das
> dann die Summe [mm]\summe_{k=a}^{b}?[/mm]
nein. Allerdings verwendet man bei diskreten Verteilungen den Begriff der Verteilung und Dichte meistens gleichbedeutend, was peniblerweise eigentlich falsch ist.
Die Dichte einer Verteilung im diskreten Fall wäre die "Einpunkt-Verteilung" [mm] $\IP(X=k)$ [/mm] und die Verteilung korrekterweise [mm] $\IP(X\le [/mm] k)$.
Da im diskreten Fall die Verteilung durch die Angabe von [mm] $\IP(X=k)$ [/mm] aber eindeutig bestimmt ist, gibt man meistens das als "Verteilungsfunktion" an.
> Bei Wikipedia stand, die Dichte kann auch Werte größer 1
> annehmen, allerdings steht in meinem Skript, dass die Vor.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1[/mm] gelten muss.
Ja. Beides ist ja auch richtig. Was spricht dagegen, im stetigen Fall die Dichte auf Nullmengen bspw. [mm] \infty [/mm] zu setzen? Oder halt sehr hoch?
Nur das Integral über [mm] \IR [/mm] muss halt 1 sein.
Nimm beispielsweise:
$f(x) = [mm] 1000*1_{[0,\bruch{1}{1000}]}$ [/mm] und zeige, dass die eine Dichtefunktion ist. (Und als Übung: Zu welcher Verteilung?).
> dachte das Integral über der Dichte f(x) sei sowas wie die
> kumulative Verteilung der Verteilungsfunktion F(x), also
> z.B.: F(x)=P(X [mm]\le x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) dt}[/mm]
Ist es ja auch.
> Ist für [mm]P_{T}=Exp(\lambda)=P_{T}((a,b))=\integral_{a}^{b}{\lambda*e^{- \lambda*t}dt}, \forall[/mm] (a,b) [mm]\subset [o,\infty) (\lambda[/mm] >0 fest) die Dichte [mm]f(x)=\lambda*e^{- \lambda*x}?[/mm]
Ja.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Peon |
Hi, danke das hat mir geholfen.
> Nimm beispielsweise:
>
> [mm]f(x) = 1000*1_{[0,\bruch{1}{1000}]}[/mm] und zeige, dass die
> eine Dichtefunktion ist. (Und als Übung: Zu welcher
> Verteilung?).
Okay es handelt sich um eine Dichte habe es nachgerechnet, schreibe es aber hier nicht auf, aber f(x) [mm] \ge [/mm] 0, Int ex. und Int = 1. Okay die Dichte kann natürlich Werte größer 1 annehmen (hier ist es ja für ale x aus [0;1/1000] der Wert 1000. Das Integral kann sogar auch größer 1 werden, oder? Wenn man zum Beispiel über das Intervall [0;1/500] integriert, erhält man den Wert 2, oder?
Allerdings weiß ich nicht wie ich die Verteilung dazu aufschreibe? Kannst du mir das kurz sagen, ich habe jetzt leider keine zeit mir damit näher auseinander setzen :)
Danke
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Hiho,
> Das Integral kann sogar auch größer 1 werden,
> oder? Wenn man zum Beispiel über das Intervall [0;1/500]
> integriert, erhält man den Wert 2, oder?
Würde man, aber dann wäre es keine Dichte mehr.
Eine Verteilungsdichte ist es nur, wenn das Integral darüber 1 ergibt.
> Allerdings weiß ich nicht wie ich die Verteilung dazu
> aufschreibe? Kannst du mir das kurz sagen, ich habe jetzt
> leider keine zeit mir damit näher auseinander setzen :)
Das wäre eben einfach:
[mm] $\integral_{-\infty}^x [/mm] f(t) dt$
Ausrechnen kannst du das allein 
MFG,
Gono.
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