Vertlgsfkt. einer ZVariable < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
geg.:
f(X)= 0 für x<1
1/6 für [mm] 1\le [/mm] x<2
2/6 für [mm] 2\le [/mm] x<3
3/6 für [mm] 3\le [/mm] x<4
4/6 für [mm] 4\le [/mm] x<5
5/6 für [mm] 5\le [/mm] x<6
1 für [mm] x\ge6
[/mm]
ges.: [mm] P(1\le [/mm] x< 5)
Ergebnis hiervon soll sein: = P(X=3) +P(X=4) = 1/3.
Sagt mal, wie berechnet man die Werte der Vertlg. einer Zufallsvariable an einer bestimmten Stelle oder innerhalb eines Intervalls?
Bereits P(1< x [mm] \le [/mm] 5) rechnet man scheinbar anders aus.
Könnte mir Jmd. von Euch erklären, wie ich derartige Aufgaben schnell korrekt lösen kann?
Danke Euch,
Peter.
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Hi, Peter_Pan,
> Hallo Zusammen,
>
> geg.:
> f(X)= 0 für x<1
> 1/6 für [mm]1\le[/mm] x<2
> 2/6 für [mm]2\le[/mm] x<3
> 3/6 für [mm]3\le[/mm] x<4
> 4/6 für [mm]4\le[/mm] x<5
> 5/6 für [mm]5\le[/mm] x<6
> 1 für [mm]x\ge6[/mm]
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> ges.: [mm]P(1\le[/mm] x< 5)
>
> Ergebnis hiervon soll sein: = P(X=3) +P(X=4) = 1/3.
Das ist sicher falsch!
> Sagt mal, wie berechnet man die Werte der Vertlg. einer
> Zufallsvariable an einer bestimmten Stelle oder innerhalb
> eines Intervalls?
Wie man von der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=x) zur Verteilungsfunktion kommt, weißt Du ja sicher; letztlich durch Addition der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Daher lässt sich umgekehrt auch aus der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung schnell "rekonstruieren".
Bei Deinem Beispiel gilt: P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = ... = P(X=6) = 1/6
(Ich vermute mal, es handelt sich bei diesem Zufallsexperiment um das ein-malige Werfen eines Laplace-Würfels).
Nun zu Deiner Aufgabe:
P(1 [mm] \le [/mm] X < 5) = P(1 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 4*(1/6) = 4/6 = 2/3.
Falls Du dazu Fragen hast, ...
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 05.10.2007 | | Autor: | DirkG |
Oder wenn man die gesuchte Intervallwahrscheinlichkeit unbedingt mit der Verteilungsfunktion [mm] $F(t)=P(X\leq [/mm] t)$ ausdrücken will: Im hier vorliegenden Fall einer diskreten Zufallsgröße $X$ sollte man da besondere Sorgfalt walten lassen.
Wenn man für nichtstetige Zufallsgrößen $P(X<t)$ berechnen will, dann ist das i.a. nicht gleich $F(t)$, sondern der linksseitige Grenzwert an dieser Stelle, d.h.
$$P(X<t) = [mm] \lim\limit_{x\nearrow t} [/mm] F(x) = [mm] F(t-0)\; [/mm] .$$
Demzufolge gilt dann im vorliegenden Fall
[mm] $$P(1\leq [/mm] X < 5) = P(X<5) - P(X<1) = F(5-0) - F(1-0) = [mm] \frac{4}{6} [/mm] - 0 = [mm] \frac{2}{3}\; [/mm] .$$
Die von dir angesprochene andere Wkt berechnet sich etwas anders, wenn auch letztendlich zufälligerweise mit demselben Ergebnis:
$$P(1< X [mm] \leq [/mm] 5) = [mm] P(X\leq [/mm] 5) - [mm] P(X\leq [/mm] 1) = F(5) - F(1) = [mm] \frac{5}{6} [/mm] - [mm] \frac{1}{6} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\; [/mm] .$$
Gruß,
Dirk
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