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Liege Mathegemeinde,
ich stehe wieder einmal wie ein Smile vor der Wand und renn dagegen. Folgende Aufgabenstellung umtreibt mich gerade.
Sei (S,B,µ) Maßraum und C [mm] \in [/mm] B eine Mengenalgebra die B (eine Sigma Algebra) erzeugt. Z.z.:
Zu jedem Element der Sigma Algebra und jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt ein Element in C mit
µ(B-C [mm] \cup [/mm] C-B) < [mm] \varepsilon
[/mm]
Das bedeudet B-C und C-B müssen Nullmengen sein. Einige andere Gedanken schwirren mir durch den Kopf. Kann mir jemand helfen?
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
hakan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hakan!
Die Aussage ist relativ kompliziert. Bringen wir zunächst folgendes in Erinnerung:
Das auf [mm] ${\cal C}$ [/mm] definierte Maß [mm] $\mu_{\vert {\cal C}}$ [/mm] kann auf genau eine Weise zu einem Maß auf [mm] ${\cal B}=\sigma({\cal C})$ [/mm] fortgesetzt werden, und zwar durch das äußere Maß von [mm] $\mu_{\vert {\cal C}}$, [/mm] eingeschränkt auf [mm] ${\cal B}$.
[/mm]
Daher gilt für alle $B [mm] \in {\cal B}$:
[/mm]
[mm] $\mu(B) [/mm] = [mm] \inf \left\{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(C_n) \, : \, (C_n)_{n \in \IN} \in {\cal U}(B)\right\}$,
[/mm]
wobei [mm] ${\cal U}(B)$ [/mm] die Menge aller Folgen [mm] $(C_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist, die $B$ überdecken.
Es seien nun $B [mm] \in {\cal B}$ [/mm] und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist die Existenz einer Menge $C [mm] \in {\cal C}$ [/mm] mit
[mm] $\mu(B \Delta [/mm] C):= [mm] \mu((B \setminus [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] B)) < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nach der obigen Bemerkung gibt es aber eine $B$ überdeckende Folge [mm] $(C_n)_{n \in \IN}$ [/mm] aus [mm] ${\cal C}$ [/mm] mit
(1) $0 [mm] \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(C_n) [/mm] - [mm] \mu(B) [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Weiterhin gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
(2) [mm] $\mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus \bigcup_{n=1}^{n_0} C_n \right) [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $C:=\bigcup_{n=1}^{n_0} C_n \in {\cal C}$, [/mm] da [mm] ${\cal C}$ [/mm] eine Mengenalgebra ist.
Wir wollen zeigen, dass $C$ die gesuchte Menge aus [mm] ${\cal C}$ [/mm] ist.
Zunächst einmal gilt:
$B [mm] \Delta [/mm] C= (B [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \subset \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus C \right) \cup \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus B \right)$,
[/mm]
und somit:
[mm] $\mu(B \Delta [/mm] C)$
[mm] $\le \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus C \right) [/mm] + [mm] \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus B \right)$
[/mm]
$ = [mm] \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus C \right) [/mm] + [mm] \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \right) [/mm] - [mm] \mu(B)$
[/mm]
[mm] $\le \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \setminus C \right) [/mm] + [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(C_n) [/mm] - [mm] \mu(B)$
[/mm]
$ [mm] \stackrel{(1),(2)}{<} \varepsilon$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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