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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:33 Sa 05.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
Abend!
Ich habe:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}*k=\bruch{1}{4}*{1+(-1)^n-1 * (2n+1)}
[/mm]
Mir geht es um eine Verständnisfrage beim Induktionsschluss.
Es heißt ja dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}*k=(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}*k) [/mm] + [mm] ((-1)^n*(n+1)) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*{1+(-1)^n-1*(2n+1)}+ ((-1)^n*(n+1))
[/mm]
so!, bis hier verstehe ich das ja noch.
dann folgen die Schritte:
[mm] =\bruch{1}{4}*{1+(-1)^n-1*(2n+1)}+ ((-1)^n*(4n+4))
[/mm]
=...
und genau diesen Schritt verstehe ich nicht ganz.
Woher kommt denn nun die "(4n+4)" oder genauer gesagt, wie wurde da die "4" hingezaubert?... ich verstehe zwar, dass man beweisen muss, dass der hintere Teil, also (2n+1) zu (2*(n+1)+1) werden muss, denn das ist ja das was wir mit dem Induktionschluss beweisen wollen.
Aber woher stammt die "4"?
Vielen Dank für die Antworten
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> Abend!
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> Ich habe:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}*k=\bruch{1}{4}*{1+(-1)^n-1 * (2n+1)}[/mm]
Hallo,
am besten schreibst Du erstmal die zu beweisende Behauptung so auf, wie Du sie wirklich meinst.
(Unterhalb des Eingabefensters kannst Du auf "Vorschau" klicken, um anzusehen, was ercheinen würde.)
Gruß v. Angela
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> Mir geht es um eine Verständnisfrage beim
> Induktionsschluss.
>
> Es heißt ja dann:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}*k=(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}*k)[/mm]
> + [mm]((-1)^n*(n+1))[/mm]
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> [mm]=\bruch{1}{4}*{1+(-1)^n-1*(2n+1)}+ ((-1)^n*(n+1))[/mm]
>
> so!, bis hier verstehe ich das ja noch.
>
> dann folgen die Schritte:
>
> [mm]=\bruch{1}{4}*{1+(-1)^n-1*(2n+1)}+ ((-1)^n*(4n+4))[/mm]
> =...
> und genau diesen Schritt verstehe ich nicht ganz.
>
> Woher kommt denn nun die "(4n+4)" oder genauer gesagt, wie
> wurde da die "4" hingezaubert?... ich verstehe zwar, dass
> man beweisen muss, dass der hintere Teil, also (2n+1) zu
> (2*(n+1)+1) werden muss, denn das ist ja das was wir mit
> dem Induktionschluss beweisen wollen.
> Aber woher stammt die "4"?
>
> Vielen Dank für die Antworten
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Sa 05.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
Gut:
Also zu beweisen ist, [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot{}k=\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^n-1 \cdot{} (2n+1)}) [/mm]
1. Es gilt [mm] A_{(1)}
[/mm]
2. Es gilt [mm] \forall_n\in\IN: A_{(n)} [/mm] => [mm] A_{(n+1)}
[/mm]
das Erste lass ich mal außen vor, da ich das verstanden habe.
Für 2. hatte ich von der Tafel folgendes abgeschrieben:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\cdot{}k=(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot{}k) [/mm] + [mm] ((-1)^n\cdot{}(n+1))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{n-1}\cdot{}(2n+1)})+ ((-1)^n\cdot{}(n+1))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{n-1}\cdot{}(2n+1))}+ ((-1)^n\cdot{}(4n+4)) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(\cdot{}1+(-1)^{n-1}+(2n+3)) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(\cdot{}1+(-1)^{(n+1)-1}+(2(n+1)+3)) [/mm]
Somit wäre der Beweis erfüllt!
Jetzt meine Frage:
In der drittletzten Zeile steht:
[mm] =\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{n-1}\cdot{}(2n+1))}+ ((-1)^n\cdot{}(4n+4)) [/mm]
die (4n+4), die zum Schluss in der Klammer steht, woher kommt die "4" in der Klammer.??
hoffe es ist verständlicher 
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Hallo hotsauce,
> In der drittletzten Zeile steht:
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> [mm]=\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{n-1}\cdot{}(2n+1))}+ ((-1)^n\cdot{}(4n+4))[/mm]
>
> die (4n+4), die zum Schluss in der Klammer steht, woher
> kommt die "4" in der Klammer.??
Du mußt die 4 durch eine [mm]\tfrac{1}{4}[/mm] vor der Klammer "neutralisieren". Dann kommt's hin.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 05.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
danke für die antwort.
aber wieso muss man denn neutralisieren und wie erkenne ich, ob ich neutralisieren muss oder eben nicht?
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Hallo hotsauce,
> danke für die antwort.
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> aber wieso muss man denn neutralisieren
weil man dann [mm]\tfrac{1}{4}[/mm] weiter ausklammern kann: [mm]\tfrac{1}{4}(\dotsm)+\tfrac{1}{4}(\dotsm)=\tfrac{1}{4}((\dotsm)+(\dotsm))[/mm]
> und wie erkenne
> ich, ob ich neutralisieren muss oder eben nicht?
da gibt's nichts zu "erkennen", der gesamte term muß gleich dem Vorherigen sein: [mm]2+2=5\![/mm] stimmt nicht, also schreibst du stattdessen [mm]2+2=5\cdot{}0.8[/mm]. Vermutlich meinte er das, mit "neutralisieren"? :)
Gruß V.N.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Sa 05.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
alles klar, danke schön
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> Gut:
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> Also zu beweisen ist, [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot{}k=\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^n-1 \cdot{} (2n+1)})[/mm]
>
> 1. Es gilt [mm]A_{(1)}[/mm]
> 2. Es gilt [mm]\forall_n\in\IN: A_{(n)}[/mm] => [mm]A_{(n+1)}[/mm]
>
> das Erste lass ich mal außen vor, da ich das verstanden
> habe.
Hallo,
also ich geb's gleich zu: ich hab' 'nen Gläschen Wein getrunken.
Es gilt die Aussage für n=1 dcoh überhaupt nicht, oder?
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^{k-1}\cdot{}k= (-1)^{k-1}*1=1,
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^1-1 \cdot{} (2*1+1)})= \bruch{1}{4}*(-3)=-\bruch{3}{4}.
[/mm]
Und wenn es eigentlich heißen sollte [mm] \bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{n-1} \cdot{} (2n+1)}), [/mm] dann bekommt man für n=1:
[mm] \bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{1-1} \cdot{} (2*1+1)})=\bruch{1}{4}(1+3). [/mm] Okay, dann stimmt's ja!
Du hast die zu beweisende Aussage also falsch gepost: es muß heißen [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot{}k=\bruch{1}{4}(\cdot{}{1+(-1)^{\red{n-1}} \cdot{} (2n+1)})[/mm] .
Gruß v. Angela
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