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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Di 24.10.2006 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Beweise ( ohne den Satz von Bezout zu verwenden )
a,b [mm] \in \IZ [/mm] teilerfremd [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt x,y [mm] \in \IZ [/mm] , sodass ax+by=1 |
Hi Leute
Ich habe die Aufgabe durch ein paar Beispielen klar gemacht, dass es gehen muss. allerdings weiß ich nicht wie ich es allgemein zeigen soll.
Mein Tutor hat gesagt, dass wir es mit Induktion machen sollen, allerdings haben wir ja zwei Variable x und y daher ist mir nicht ganz klar wie ich dies machen soll.
was ich bisher nur weis: wenn a,b teilfremd [mm] \Rightarrow [/mm] (a-b),b auch teilerfremd.
Dies war auch noch ein Tipp
Allerdings komm ich da auch nicht viel weiter wenn ich
x(a-b)+yb=1
stehen habe
Vielen Dank
Michael
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> Beweise ( ohne den Satz von Bezout zu verwenden )
> a,b [mm]\in \IZ[/mm] teilerfremd [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt x,y [mm]\in \IZ[/mm] ,
> sodass ax+by=1
Hallo,
ich würd's so machen, allerdings kommt die gewünschte Induktion nicht drin vor:
Seien a, b teilerfremd.
Betrachte die Menge [mm] M:=\{ax+by| x,y \in \IZ\}.
[/mm]
In dieser Menge gibt es ein kleinstes positives Eleament k.
Also gibt es x,y [mm] \in \IZ [/mm] mit k=ax+by.
Es ist k ein Teiler von x und von y.
Denn wäre das nicht der Fall, gäbe es r,s [mm] \in \IN [/mm] mit a=sk+r mit 0<r<k.
==> r=sk-a=s( ax+by)-a=a(sx-1)-by.
Also ist r [mm] \in [/mm] M und wegen r<k ist dies ein Widerspruch dazu, daß k ds kleinste positive Element ist.
Also ist k ein Teiler von a und b, und da a,b, teilerfremd, ist k=1,
womit die Beh. bewiesen ist.
Gruß v. Angela
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