Volumenberechnung Dreifachi. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 02.06.2008 | | Autor: | kuru |
| Aufgabe | | Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von x² um die z-Achse entsteht. |
Meine frage lautet zu der Aufgabe. Wie kriege ich die integrationsgrenzen? die lösung habe ich aber ich verstehe da gar nix. kann mir das jemand erklären.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mo 02.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo kuru,
war da noch irgendwas gegeben ? grenzen ? ansatz (polar) ?
mfg
masa-ru
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 02.06.2008 | | Autor: | kuru |
Nein. Nur dass die aufgabe im skript man muss aber die aufgabe mit zylinderkoordinaten lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo kuru,
> Rotation von x² um die z-Achse entsteht.
Schließe mich masa-ru an:
[mm] $x^2$ [/mm] ist keine Funktion(sgleichung), da fehlt noch was...
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 02.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hmm da fahlen aber trotzdem Sachen.
wenn du zufälig "papula band2" zur hand hast da ist sowas sehr gut erklärt.
wenn du die Funktion [mm] $x^{2}$ [/mm] um die Z-Achse rotierst, in den Zylinderkoordinaten wird x zu r
und wenn du alleine die Z-Achse und die X-Achse betrachtest brauchst du 2-Grenzen zum Integrieren.
Die untere grenze ist eine Funktion [mm] ($x^{2}$ [/mm] also [mm] $r^{2}$ [/mm] ) , die Obere grenze ist konstant, kommt drauf bis wochin deine Parabel geht nehnen wir diesen punkt A
=> [mm] \integral_{z=r^{2}}^{A}{? dz}
[/mm]
Nun betrachte die X-Achse und die Y-Achste ( du schaust auf die Z-Achse drauf)
So bildet sich ein Kreis durch die Rotation um diese achsen im Mittelpunkt ist die Z-Achse
hier ist nur der Radius des Kreises gefragt, durch die Rotation bekommst du nämlich einen Kreis auf den Y-X-Achse.
wenn du im ersten integral A = 4 wählst ist dein r = 2 diese 2 kommt zustande durch die gleichung [mm] $r^{2}$ [/mm] , wenn dein höchster punkt der Parabel 4 auf der Z-Achse wählst (A) ist dein $4 [mm] =r^{2} [/mm] => r=2$
=> [mm] \integral_{r=0}^{2}{? dr}
[/mm]
und zum schluß musst du den Winkel angeben wie sich der Kreis verhält. ob er ein Voller / Halber/Viertel etc. Kreis ist.
da es hier eine vollständige Rotation ist (von 0 - 360Grad) im Bogenmaß 0 - [mm] $2*\pi$
[/mm]
hast du nun dein drittes Integral
=> [mm] \integral_{fi=0}^{2*\pi}{ df}
[/mm]
[mm] \integral_{fi=0}^{2*\pi}{ \integral_{r=0}^{2}{ \integral_{z=r^{2}}^{4}{? * dz } *dr} * dfi}
[/mm]
über das ? was im integral steht must du dir noch gedanken machen!
kommt das mit deiner Lösung hin ?
mfg
masa-ru
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 02.06.2008 | | Autor: | kuru |
danke für deine antwort doch ich mache mir gerade gedanken darüber uber das was du geschrieben hast. leider konnte ichs mir noch nicht erklären .
die lösung lautet :
[mm] \integral_{r=0}^{R}{ \integral_{z=r^{2}}^{R^{2}}{ \integral_{\varphi=0}^{ 2\pi }{ r\ d\varphi\ dz\ dr }}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 02.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Rotationsparaboloid hat die Form [mm] z=x^2+y^2 [/mm] mit [mm] x^2+y^2\le R^2
[/mm]
mit $x=r*cos\ [mm] \phi$
[/mm]
$y=r*sin\ [mm] \phi$ [/mm] also [mm] z=r^2
[/mm]
das volumenelement ist dann [mm] dV=r*d\phi*dz*dr
[/mm]
und du musst z von [mm] r^2 [/mm] bis [mm] R^2 [/mm] und r von 0 bis R integrieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 02.06.2008 | | Autor: | kuru |
das verstehe ich aber nicht ich dachte zylinderkoordinaten haben nix mit rcosfi und rsinfi zu tun ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Di 03.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
> das verstehe ich aber nicht ich dachte Zylinderkoordinaten haben nix mit rcosfi und rsinfi > zu tun ???
Das Ganze nennt man Koordinatentransformation , z.B. bei 2-fach Integralen kann es durchaus vom Vorteil sein die vorhandene Funktion die von x,y abhängt in Zylinderkoordinaten zu schreiben, dieses transformieren kann dir später sehr viel Rechen-Arbeit sparen.
dieses Transformieren ist nicht schwer wenn du Geometrie dein eigen nennst.
wenn du dir ein Dreieck vorstellst dessen Hypotenuse r ist also mit der länge r und einen Winkel [mm] \phi [/mm] . Dieser Dreieck streckt sich über den X-Y-Achse.
so liegt die Ankathete auf der X-Achse, und die Gegenkathete auf der y-Achse (betrachtet vom Winkel [mm] \phi [/mm] )
hier kannst du die X bzw. Y-Achse mit sin bzw cos angeben.
zum festhalten
$cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{Ankatethe}{Hypotenuse}$ [/mm] ... $Ankatethe = Hypotenuse *cos [mm] (\alpha) [/mm] $
$sin [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{Gegenkatethe}{Hypotenuse}$ [/mm] ... $Gegenkatethe = Hypotenuse *sin [mm] (\alpha) [/mm] $
Winkel = [mm] \phi [/mm]
Hypotenuse = r
Ankatethe = [mm] cos(\phi) [/mm] * r
Gegenkatethe = [mm] sin(\phi) [/mm] * r
hieraus ergibt sich $x = [mm] cos(\phi) [/mm] * r$ und [mm] $y=sin(\phi) [/mm] * r$
wie leduart schon gesagt hat ist es ein Rotationsparaboloid mit der Form $ [mm] z=x^2+y^2 [/mm] $
wenn du da nun für $x = [mm] cos(\phi) [/mm] * r$ und [mm] $y=sin(\phi) [/mm] * r$ einsetzt bekommst du [mm] $r^{2}$ [/mm] raus $ ( z = [mm] r^{2}*( \underbrace{ sin^{2}(\phi) + cos^{2}(\phi)}_{=1}) [/mm] $
hoffe das hilft ein wenig.
mfg
masa
|
|
|
|
