Von ZV erzeigte Sigma-Algebra < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Sa 10.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit Martingalen und habe eine Verständnisfrage.
Angenommen [mm]X:(\Omega,F)\to(E,\varepsilon)[/mm] ist Zufallsvariable. Dann ist [mm]\sigma(X)=\left \{ X^{-1}(A):A\in E \right \}[/mm].
Habe ich nun einen stochastischen Prozess [mm](X_i)_{i\in \IN}[/mm], so habe ich nun folgende Definition:
[mm]F_n=\sigma(X_1,...,X_n)[/mm].
Ist [mm]\sigma(X_1,...,X_n)\red{=}\bigcup_{i=1}^{n} \sigma(X_i)[/mm], oder wie kann ich das verstehen?
Danke für jede Hilfe.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 10.03.2012 | | Autor: | barsch |
Ich sehe
> Ist [mm]\sigma(X_1,...,X_n)\red{=}\bigcup_{i=1}^{n} \sigma(X_i)[/mm],
kann nicht sein, da die Vereinigung von [mm]\sigma[/mm]-Algebren i.A. keine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.
Gruß
barsch (immer noch ahnungslos)
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Hiho,
du hast ja selbst schon erkannt, dass dein Gleichheit nicht gilt.
Fürs Verständnis ist es aber eben genau das, nämlich:
[mm] $\sigma\left(X_1,\ldots,X_n\right)$ [/mm] ist die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] so dass die Zufallsvariablen [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] meßbar sind.
Nicht mehr, aber auch nicht weniger 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Sa 10.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hiho,
>
> du hast ja selbst schon erkannt, dass dein Gleichheit nicht
> gilt.
> Fürs Verständnis ist es aber eben genau das, nämlich:
>
> [mm]\sigma\left(X_1,\ldots,X_n\right)[/mm] ist die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, so dass die Zufallsvariablen [mm]X_1,\ldots,X_n[/mm]
> meßbar sind.
okay, danke.
> Nicht mehr, aber auch nicht weniger
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> MFG,
> Gono.
Gruß
barsch
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