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Hallo Leute!
Ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe:
Zu stetigem [mm] $f:\left(a,b\right) \mapsto \mathbb{R},\; [/mm] a,b [mm] \in \mathbb{R},\; [/mm] h > [mm] 0,\; [/mm] x,x+h [mm] \in \left(a,b\right)$ [/mm] werden die k-ten Vorwärtsdifferenzen [mm] $\left(k \in \mathbb{N}\right)$ [/mm] definiert:
[mm] $\Delta^1\left[f,x,h\right] [/mm] := [mm] \frac{f\left(x+h\right) - f\left(x\right)}{h}$,
[/mm]
[mm] $\Delta^k\left[f,x,h\right] [/mm] := [mm] \Delta^1\left(\Delta^{k-1}\left[f,x,h\right]\right)$
[/mm]
Zeige: Ist $f$ ein Polynom vom Grade höchstens $k - 1$, so gilt:
[mm]\Delta^k\left[f,x,h\right] = 0[/mm]
Ich habe zunächst versucht eine geschlossene Formel für [mm] $\Delta^k$ [/mm] herzuleiten. Dazu habe ich versucht die rekursive Definition von [mm] $\Delta^k$ [/mm] aufzulösen; Berechnet man z.B. [mm] $\Delta^0,\dotsc,\Delta^5$ [/mm] erkennt man folgendes Schema:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Vorzeichen vor den f's wechseln sich also in jeder Zeile ab (Erinnert einen ein Bißchen an das Schema zur Determinantenberechnung). Die Koeffizienten vor den f's erhält man (ähnlich wie beim Pascalschen Dreieck) durch Addition mit den vorigen Koeffizienten. Zum Beispiel:
1+1 = 2 oder 4 + 6 = 10
Jedenfalls vermute ich aus diesem Schema, das für [mm] $\Delta^k$ [/mm] folgende Formel gilt:
[mm]\Delta ^k \left[ {f,x,h} \right] = \sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - i} a_i f\left( {x + ih} \right)}}
{{h^k }}}[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich das Berechnungsschema für die Koeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] in der Formel ausdrücken kann. Ich habe deshalb versucht die [mm] $a_i$ [/mm] erstmal zu ignorieren, und habe das Polynom einfach so eingesetzt:
[mm]\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - i} a_i \sum\limits_{j = 0}^{k - 1} {c_j \left( {x + ih} \right)^j } }}
{{h^k }}} = \sum\limits_{i = 0}^k {\sum\limits_{j = 0}^{k - 1} {\frac{{a_i c_j \left( { - 1} \right)^{k - i} \left( {x + ih} \right)^j }}
{{h^k }}} }[/mm]
Und wie zeige ich nun weiter, daß dieser Ausdruck 0 ist?
Danke für eure Hilfe!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 06.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karl!
Den Bezug der Koeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] zum Pascal'schen Dreieck hast Du ja bereits erkannt.
Damit ist die explizite Darstellung dieser Koeffizienten doch auch schon so gut wie da ... es handelt sich hierbei nämlich um den Binomialkoeffizienten:
[mm] [center]$a_i [/mm] \ = \ [mm] \vektor{k\\i}$[/center]
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ich habe versucht die Aussage mit vollständiger Induktion zu beweisen:
Induktionsanfang (k = 1):
Sei [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] c_0x^0 [/mm] = [mm] c_0$ [/mm] ein Polynom 0ten Grades. Dann ist:
[mm] $\Delta^1\left[f,x,h\right] [/mm] = [mm] \frac{c_0 - c_0}{h} [/mm] = 0$
Induktionsschritt (k -> k + 1)
Jetzt benutze ich die Formel, die ich vorhin hergeleitet habe:
[mm]\begin{gathered}
\Delta ^{k + 1} \left[ {f,x,h} \right] = \Delta ^1 \left( {\Delta ^k \left[ {f,x,h} \right]} \right)\mathop = \limits^{{\textrm{Induktionsannahme}}} \frac{{\frac{{\sum_{i = 0}^k {\left( { - 1} \right)^{k - i} \binom{k}{i} f\left( {x + \left( {i + 1} \right)h} \right)} }}
{{h^k }} - 0}}
{h} \hfill \\
= \frac{{\sum_{i = 0}^k {\left( { - 1} \right)^{k - i} \binom{k}{i} f\left( {x + \left( {i + 1} \right)h} \right)} }}
{{h^{k + 1} }} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Und jetzt müßte ich irgendwie ausnutzen, daß f ein Polynom ist, aber wie?
Ich glaube, mir fehlt hier ein Funke....
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Hallo Karl!
Ich hätte auch noch eine Idee zu dieser Aufgabe, allerdings habe ich sie nicht bis zur letzten Konsequenz geprüft:
Zunächst beweist du eine Produktregel für [mm] $\Delta^1$. [/mm] Da kommt so etwas heraus:
[mm] $\Delta^1[fg,x,h]=g(x+h)\Delta^1[f,x,h]+f(x)\Delta^1[g,x,h]$.
[/mm]
Jetzt nimm an, dass $p$ ein Polynom vom Grad $k$ ist. Dann kannst du es ja darstellen mittels: [mm] $p(x)=x\cdot [/mm] q(x)+c$, wobei [mm] $c\in\IR$. [/mm] $q$ ist wiederum ein Polynom, allerdings vom Grad $k-1$.
Wenn man diese Darstellung im Induktionsschritt ausnutzt müsste es eigentlich gehen...
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo banachella!
Bitte entschuldige, daß ich bisher keine Zeit gefunden habe mich mit deinen Tips zu befassen!
> Zunächst beweist du eine Produktregel für [mm]\Delta^1[/mm]. Da
> kommt so etwas heraus:
>
> [mm]\Delta^1[fg,x,h]=g(x+h)\Delta^1[f,x,h]+f(x)\Delta^1[g,x,h][/mm].
Ich frage mich, warum ich kein Auge für solche Gesetzmäßigkeiten habe.
Je mehr ich mich mit höherer Mathematik beschäftige, desto mehr merke ich, daß ich nie richtig gelernt habe zu sehen...
[mm]\Delta^1\left[fg,x,h\right] = \frac{f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h} = \frac{f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)}{h}-\frac{f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}[/mm]
[mm]= g\left(x+h\right)\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)+f\left(x\right)}{h}+\frac{-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}[/mm]
[mm]= g\left(x+h\right)\left[\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}+\frac{f\left(x\right)}{h}\right]+\frac{-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}[/mm]
[mm]= g\left(x+h\right)\Delta^1\left[f,x,h\right] + \frac{g\left(x+h\right)f\left(x\right)}{h} + \frac{-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}[/mm]
[mm]=g\left(x+h\right)\Delta^1\left[f,x,h\right] + f\left(x\right)\Delta^1\left[g,x,h\right][/mm]
Und jetzt versuch' ich mal den Hauptbeweis...
In jedem Fall danke ich dir für deine Hilfe!
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Hallo banachella!
Ich hab's versucht, aber ich weiß einfach nicht, wie mir diese Produktregel nützlich sein kann. Der Induktionsschritt sieht ja so aus:
Sei [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] xq\left(x\right) [/mm] + c, c [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] ein Polynom vom Grade k. [mm] $q\left(x\right)$ [/mm] ist ein Polynom vom Grade $k - 1$. Es gilt:
[mm] $\Delta^{k+1}\left[f,x,h\right] [/mm] = [mm] \Delta^1\left(\Delta^k\left[f,x,h\right]\right) \mathop [/mm] = [mm] ^{\substack{\text{Induktionsannahme}}} \frac{1}{h}\Delta^k\left[f,x+h,h\right]$
[/mm]
Im Moment sehe ich keinen Zusammenhang zwischen der Produktregel und dem $x+h$ in der letzten Darstellung (das $x+h$ stört mich schon die ganze Zeit; ich weiß einfach nicht, wie ich das "wegkriegen" soll.). Und wo soll ich die Produktregel anwenden? Das Problem ist ja auch, daß c bei der obigen Darstellung von f. Das c verhindert doch, daß ich diese Regel überhaupt irgendwo anwenden kann. Also im Moment habe ich nur 3 schöne Gesetzmäßigkeiten für [mm] $\Delta^k$. [/mm] Da wäre z.B. meine Summenformel von vorhin. Oder jetzt auch deine Produktregel. Und noch die Rekursion aus der Aufgabenstellung. Nur den Beweis, den kriege ich mit diesen Sachen nicht hin. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wäre schön, wenn Du mir nochmal helfen könntest. 
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Di 13.12.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
... gilt ja erstmal nur für [mm] $\Delta^1$. [/mm] Ich habe auch schon versucht sie deshalb für [mm] $\Delta^k$ [/mm] zu verallgemeinern in der Hoffnung, daß sie dann nützlicher für mich wird:
[mm] $\Delta^{k+1}\left[fg,x,h\right] [/mm] = [mm] \Delta^1\left(\dots\Delta^1\left[fg,x,h\right]\dots\right) [/mm] = [mm] \Delta^1\left(\dots\Delta^1\left[f,x,h\right]\left(f\left(x\right) + g\left(x+h\right)\right)\dots\right)$
[/mm]
$= [mm] \Delta^1\left(\dots\Delta^1\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right]\left(\Delta^1\left[f,x,h\right]+f\left(x+h\right)+g\left(x+2h\right)\right)\dots\right)$
[/mm]
$= [mm] \Delta^1\left(\dots\Delta^1\left[\Delta^1\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right],x,h\right]\left(\Delta^1\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right] + \Delta^1\left[f,x+h,h\right] + f\left(x+2h\right) + g\left(x+3h\right)\right)\dots\right)$
[/mm]
Na ja, den nächsten Rekursionsschritt wollte ich mir dann doch nicht mehr antun. Es sei denn, du willst ihn sehr gerne sehen. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") Nur kann ich bisher nur schwer eine Gesetzmäßigkeit in dieser Rekursion ausmachen, die sich "rein mathematisch" (also nicht bloß z.B. mit einer Grammatik) kompakt aufschreiben ließe.
Aber im Ernst: Ich weiß nicht, was ich machen soll. (Außer schlafen gehen... ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]") )
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") und Danke!
Karl
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Hallo Karl!
Dann versuch ich mich jetzt doch nochmal an einer kompletten Lösung:
Zunächst mal überlegt man sich, dass [mm] $\Delta^1[f+g,x,h]=\Delta^1[f,x,h]+\Delta^1[g,x,h]$. [/mm] Insbesondere folgt dann auch die Linearität von [mm] $\Delta^k$.
[/mm]
Mir scheint es irgendwie einfacher (und auch ergiebiger), folgendes zu zeigen:
Falls $p$ ein Polynom vom Grad $k$ ist, so ist [mm] $\Delta^1[p,x,h]$ [/mm] ein Polynom vom Grad $k-1$. Daraus folgt dann sofort, dass [mm] $\Delta^{j}[p,x,h]$, $0\le j\le [/mm] k+1$ ein Polynom vom Grad $k-j$ ist, wobei der Grad des Nullpolynoms $-1$ sein soll.
[mm] $\underline{k=0:}$
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] $\Delta^1[c,x,h]=0$, [/mm] wobei [mm] $c\in\IR$.
[/mm]
Sei nun die Behauptung für [mm] $k\in \IN_0$ [/mm] gezeigt.
[mm] $\underline{k\to k+1:}$
[/mm]
Sei $p$ ein Polynom vom Grad $k+1$. Dann gibt es eine Konstante [mm] $c\in\IR$ [/mm] und ein Polynom $q$ vom Grad $k$, so dass $p(x)=xq(x)+c$. Es gilt:
[mm] $\Delta^1[p,x,h]=\Delta^1[xq+c,x,h]=\Delta^1[qx,x,h]+\underbrace{\Delta^1[c,x,h]}_{=0}=(x+h) \Delta^1[q,x,h]+q(x)\Delta^1[x,x,h]=(x+h)\Delta^1[q,x,h]+hq(x)$.
[/mm]
Da [mm] $\mathrm{deg}(q)=k$ [/mm] ist nach Induktionsvoraussetzung [mm] $\mathrm{deg}(\Delta^1[q,x,h])=k-1$. [/mm] Insgesamt ist also [mm] $\Delta^1[p,x,h]$ [/mm] ein Polynom vom Grad $k$.
Wenn du versuchst, die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel direkt zu lösen, kommst du im Induktionsschritt auf folgende Zeile:
[mm] $\Delta^{k+1}[xq+c,x,h]=\Delta^k\big[\Delta^1[xq+c,x,h]\big]=\Delta^k\big[\Delta^1[xq,x,h]\big]+\Delta^k\big[\underbrace{\Delta^1[c,x,h]}_{=0}\big]$.
[/mm]
Hier bräuchtest du dann wieder, dass [mm] $\Delta^1[xq,x,h]$ [/mm] ein Polynom vom Grad $k-1$ ist.
Ich weiß nicht, ob es einen besseren oder direkteren Weg gibt, um diese Aufgabe zu lösen. Aber immerhin ist es eine Lösung... 
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo banachella!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich denke ...
> [mm]\Delta^1[p,x,h]=\Delta^1[xq+c,x,h]=\Delta^1[qx,x,h]+\underbrace{\Delta^1[c,x,h]}_{=0}=(x+h) \Delta^1[q,x,h]+q(x)\Delta^1[x,x,h]=(x+h)\Delta^1[q,x,h]+\red{h}q(x)[/mm].
... das h müßte dort weg. Aber an der Gültigkeit des Beweises ändert das gar nichts. ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") Ich wäre mit Sicherheit nie selber darauf gekommen. Allein schon der Gedanke 4 neue Gesetzmäßigkeiten für [mm] $\Delta^k$ [/mm] zu finden, die dann Einen beim Hauptbeweis unterstützen, ist Klasse! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Ich habe jedenfalls erst im Hauptbeweis gesehen, wie alle Puzzleteile zusammen. (Obwohl die 4te Regel mit dem Grad des Polynom für [mm] $\Delta^1$ [/mm] hätte man vielleicht doch noch sehen können, da sie sich einem während des Beweises "aufdrängt". )
Ich wollte nachträglich noch kurz zwei der Regeln beweisen, die Du verwendet hast(; die Produktregel wurde ja bereits bewiesen).
Linearität:
[mm]\Delta^1\left[f+g,x,h\right] = \frac{f\left(x+h\right) + g\left(x+h\right) - f\left(x\right) - g\left(x\right)}{h} = \frac{f\left(x+h\right) - f\left(x\right)}{h} + \frac{g\left(x+h\right) -g\left(x\right)}{h} = \Delta^1\left[f,x,h\right] + \Delta^1\left[g,x,h\right]\quad\Box[/mm]
Rückwärtsrekursions-Formel
[mm]\underline{\texttt{Induktionsanfang }\left(k = 2\right):}[/mm]
[mm]\Delta^2\left[f,x,h\right] \mathop =^{\substack{\text{Definition}}}\Delta^1\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right] = \Delta^{2-1}\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right]\quad\Diamond[/mm]
Angenommen die Aussage ist für $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] bewiesen (Für k = 1 gilt sie ja sowieso):
[mm]\underline{\texttt{Induktionsschritt }\left(k \leadsto k+1\right):}[/mm]
[mm]\Delta^{k+1}\left[f,x,h\right] \mathop = ^{\substack{\text{Definition}}} \Delta^1\left[\Delta^k\left[f,x,h\right]\right] \mathop = ^{\substack{\text{Induktionsannahme}}} \Delta^{\color{magenta}1}\left[\Delta^{\color{magenta}k-1}\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right]\right] \mathop = ^{\substack{\text{\color{magenta}Definition}}} \Delta^k\left[\Delta^1\left[f,x,h\right],x,h\right]\quad\Box[/mm]
Die letzte Regel finde ich irgendwie "nett".
Viele Grüße
Karl
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in die WikiPedia gucken![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
Aber das Tollste ist ja, daß ich's sogar noch selber erwähnt habe, aber nicht auf den Gedanken gekommen bin, mal nachzuschauen. Manchmal bin ich mir selbst ein Rätsel... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
