WS und quadr. Gleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mo 24.07.2006 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
Aus dem Intervall $[0;1]$ werden zufällig und unabhängig voneinander zwei Zahlen $p$ und $q$ ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Gleichung [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm] (im Reellen) lösbar?
Ich habe diese Frage nirgends sonst gestellt. Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Di 25.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
mit der Wahrscheinlichkeit 1/12.
Wie müssen denn p und q zusammenhängen, damit es geht? Wenn man sich das überlegt hat, kann man sich die Lösung auch geometrisch verklaren, z. B. als Teilfläche des Einheitsquadrates.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 25.07.2006 | | Autor: | MasterEd |
Also die Lösungen von [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm] sind ja [mm] $x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}$. [/mm] Die Gleichung ist löbar, wenn die Zahl unter der Wurzel nicht negativ ist, also wenn [mm] $\bruch{p^2}{4}-q\ge [/mm] 0$ bzw. [mm] $\bruch{p^2}{4}\ge [/mm] q$ ist.
Aber wie kommt man darauf, dass dieser Fall mit einer WS von 1/12 eintritt?
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Die Ungleichung [mm] $\bruch{p^2}{4}\ge [/mm] q$ beschreibt eine Teilmenge des Einheitsquadrats:
$A = [mm] \{ (p,q)\ |\ 0 \le p,q \le 1 \wedge \bruch{p^2}{4}\ge q\}$
[/mm]
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist genau die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punktepaar (p,q) aus dem Einheitsquadrat in A liegt. Bei angenommener Gleichverteilung ist das gerade die Fläche von A.
Zeichne sie dir auf, dann siehst du, wie du sie durch Integration berechnen kannst.
Gruß,
SirJective
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Di 25.07.2006 | | Autor: | statler |
wg. System-Störung nur Mitteilung
Hallo!
> Also die Lösungen von [mm]x^2+px+q=0[/mm] sind ja
> [mm]x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}[/mm]. Die Gleichung
> ist löbar, wenn die Zahl unter der Wurzel nicht negativ
> ist, also wenn [mm]\bruch{p^2}{4}-q\ge 0[/mm] bzw. [mm]\bruch{p^2}{4}\ge q[/mm]
> ist.
>
> Aber wie kommt man darauf, dass dieser Fall mit einer WS
> von 1/12 eintritt?
Zeichne dir mal ein Einheitsquadrat, nenne eine Seite p und eine dazu senkrechte q. Und dann suche und finde und berechne die Menge der Punkte, für die die Gleichung eine relle Lösung hat.
Lösung: Das gesuchte Gebiet wird von einer Seite (p), einem Teil einer anderen Seite ((1/4)q) und einer Parabel begrenzt.
Gruß
Dieter
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