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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 So 22.11.2009 | | Autor: | Yujean |
| Aufgabe | Auf einem bestimmten Areal in Kanada lebten 1965 nach Schätzungen von Wissenschaftlern 2500 Robben. Sie vermehrten sich jährlich um 7.5%. Außerdem wurden damals jährlich 350 Robben wegen ihres Felles getötet.
Wie lange hätte es gedauert, bis die Robben ausgerottet gewesenwären, wenn es nicht inzwischen ein Verbot für die Tötung der Robben gegeben hätte? |
Guten Abend,
Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe und zwar, die Funktion ohne die 350 getöteten Tiere würde ja so lauten:
f(x)= [mm] 2500*1.075^x
[/mm]
richtig?
aber wie bringe ich jetzt die 350 mit rein?
Danke
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mo 23.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe und zwar, die Funktion
> ohne die 350 getöteten Tiere würde ja so lauten:
>
> f(x)= [mm]2500*1.075^x[/mm] richtig?
Nein, das würde bedeuten, dass jedes jahr genau 7,5% der ursprünglichen 2500 robben hinzukommen. Aber es kommen ja immer 7,5% von der Population im Jahr davor dazu. Also: Die Popoulation [mm] p_0 [/mm] am Anfang ist 2500, und in jedem Jahr kommen 7,5% der Population im Vorjahr hinzu, abzüglicher der 350 die getötet werden, d.h. [mm] $p_{n+1}=1.075\cdot p_n-350$
[/mm]
D.h. du hast eine Folge [mm] p_n [/mm] mit [mm] $p_{n+1}=\alpha p_n+\beta$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und irgendeinem Startwert [mm] $p_0$.
[/mm]
Jetzt kann man mit Induktion zeigen, dass für eine solche Folge gilt [mm] $$p_n=\alpha^na_0+\beta\sum_{i=0}^{n-1}\alpha^i=\frac{\alpha^n(a_0-\alpha-\beta)+\beta}{1-\alpha}$$ [/mm] Ich denke damit kommst du weiter.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Yujean |
Vielen Dank für deine Antwort, aber ob man das so in der 12 Klasse verstehen soll ist glaub ich sehr fragwürdig 
Also habe das mit der Population verstanden, aber wie das pn zustande kommt erlich gesgat nicht wirklich......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach 1 Jahr ist noch klar: p1=2500*1.075-350
diese menge nimmt im nächsten Jahr um 7.5% zu und 350 wegalso
p2=p1*1.075-350=(2500*1.075-350)*1.075-350
entsprechend
p3=p2*1.075-350=((2500*1.075-350)*1.075-350)*1.075-350
jetzt vereinfach ich mal, damit das nicht immer länger wird.
[mm] 2500*1.075^3-350*(1.075^2+1.075^1+1.075^0) [/mm] das hoch 0 nur damit man das Gesetz sieht.
[mm] p4=p3*1.075-350=(2500*1.075^3-350*(1.075^2+1.075^1+1.075^0))*1.075-350=2500*1.075^4-350*(1.075^3+1.075^2+1.075^1+1.075^0)
[/mm]
jetzt solltest du sehen, wie es weiterläuft:
....
[mm] pn=2500*1.075^n-350*(1.075^{n-1}+......+1.075^0)
[/mm]
die Klammer ist mit q=1.075 eine geometrische Reihe
[mm] q^0+q^1+q^2+.....+q^{n-1}
[/mm]
die solltest du ausrechnen können, sonst gäb es die Aufgabe nicht.
das hatte dir abakus schon etwas kürzer und mit Buchstaben staat der zahlen geschrieben.
Bei so Aufgaben rechnet man am besten immer die ersten paar jahre brav nacheinader aus, lässt aber die Rechnung stehen und rechnet nicht die ergebniszahl aus.
dann sieht man fast immer wie es weitereht.
Gruss leduart
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