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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 25.10.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | An einer Häuserreihe (mit n Häusern) wurden die Hausnummern abgenommen. Jetzt soll jeder der n Bewohner zufällig in ein Haus gehen (pro Haus nur ein Bewohner). Wie groß ist die Wkt, dass
a) keiner in seinem eigenen Haus ist.
b) genau k, [mm] 0\le{k}\le{n}, [/mm] in ihr eigenes Haus gegangen sind. |
Hi,
zugegeben eine merkwürdige Aufgabe. Zur
a) Diese Aufgabe ist ja nicht so schwer. Die Wkt ergibt sich aus
[mm] \bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n-1}*\bruch{n-3}{n-2}*...*1=\bruch{1}{n}
[/mm]
b) Hier fehlt mir ein Ansatz.
Ich habe einmal anhand von n=4 Häusern versucht, eine Gesetzmäßigkeit zu entdecken, aber gelungen ist es mir nicht.
Vielleicht habt ihr eine Idee, wie an die b) heranzugehen ist?
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Sa 25.10.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin barsch,
ich muss die enttaeuschen, deine Loesung stimmt bereits fuer $n=4$ nicht.
Sieh es einmal so: Wenn n Personen die Haeuser betreten, so entspricht
das einer Permutation [mm] $\sigma:\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$, [/mm] die kurz in
der Form [mm] $(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$ [/mm] geschrieben werden kann.
Ein Fixpunkt ist eine Zahl i mit [mm] $\sigma(i)=i$.
[/mm]
Unter a) sind alle [mm] $\sigma:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4\}$ [/mm] gesucht, die keinen
Fixpunkt aufweisen. Hiervon gibt es 9:
| 1: |
| | 2: | 2 3 4 1
| | 3: | 3 1 4 2
| | 4: | 2 1 4 3
| | 5: | 3 4 1 2
| | 6: | 3 4 2 1
| | 7: | 2 4 1 3
| | 8: | 4 1 2 3
| | 9: | 4 3 1 2
| | 10: | 4 3 2 1
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Da es $n!=4!=24$ Permutationen gibt, ist die gesuchte Wsk
[mm] $9/24=0.375\ne1/4$. [/mm] Der allgemeine Fall wird ![[]](/images/popup.gif) hier behandelt.
Das 2. Problem stellt sich nun so dar: Gesucht sind alle [mm] $\sigma$ [/mm] mit
[mm] $k=0,1,\dots,n$ [/mm] Fixpunkten.
vg Luis
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