Wahrscheinlicht P(A u B^c) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]P(A) = \frac{3}{5}, \; P(B) = \frac{3}{10}, \; P(A \cap B) \;=\; \frac{1}{10}[/mm]
Berechne [mm]P(A\cup B^c)[/mm] |
Eigentlich sollte das ja nicht schwer sein, mir fällt nur leider keine geeignete Termumformung ein. :(
Ich habe das ganze mal aufgemalt und bin zu dem Schluss gekommen, dass
[mm]P(A\cup B^c) = P(B^c) + P(A\cap B)[/mm]
gilt.
------------
Meine Ansätze:
[mm]P(A\cup B^c) \;=\; P(A) + P(B^c) - P(A\cap B^c)[/mm]
Hier ist nun das Problem [mm]P(A\cap B^c)[/mm] zu berechnen.
Mit de-morgan:
[mm]P(A\cup B^c) \;=\; P((A^c)^c\cup B^c) \;=\; P((A^c \cap B)^c) \;=\; 1 - P(A^c \cap B)\;\stackrel{(1)}{=}\; 1 - (P(B) - P(A \cap B)) \;=\; 1 - P(B) + P(A \cap B)[/mm]
Das entspricht dem Ergebnis welches ich durch Zeichnen erreicht habe, jedoch ist der Umformungsschritt (1) auch nur durch Anschauung entstanden und nicht begründet auf irgendeinem Gesetz. Spätestens bei 4 Mengen würde eine solche Anschauung ja versagen. Daher wäre es ganz gut, wenn jemand an der Stelle eine passende Formel nennen könnte, oder einfacher: einen dirketeren unkomplizierten Lösungsweg kennt ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]P(A) = \frac{3}{5}, \; P(B) = \frac{3}{10}, \; P(A \cap B) \;=\; \frac{1}{10}[/mm]
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> Berechne [mm]P(A\cup B^c)[/mm]
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> Eigentlich sollte das ja nicht schwer sein, mir fällt nur
> leider keine geeignete Termumformung ein. :(
>
> Ich habe das ganze mal aufgemalt und bin zu dem Schluss
> gekommen, dass
> [mm]P(A\cup B^c) = P(B^c) + P(A\cap B)[/mm]
>
> gilt.
> ------------
> Meine Ansätze:
>
> [mm]P(A\cup B^c) \;=\; P(A) + P(B^c) - P(A\cap B^c)[/mm]
> Hier ist
> nun das Problem [mm]P(A\cap B^c)[/mm] zu berechnen.
>
> Mit de-morgan:
> [mm]P(A\cup B^c) \;=\; P((A^c)^c\cup B^c) \;=\; P((A^c \cap B)^c) \;=\; 1 - P(A^c \cap B)\;\stackrel{(1)}{=}\; 1 - (P(B) - P(A \cap B)) \;=\; 1 - P(B) + P(A \cap B)[/mm]
>
> Das entspricht dem Ergebnis welches ich durch Zeichnen
> erreicht habe, jedoch ist der Umformungsschritt (1) auch
> nur durch Anschauung entstanden und nicht begründet auf
> irgendeinem Gesetz. Spätestens bei 4 Mengen würde eine
> solche Anschauung ja versagen. Daher wäre es ganz gut,
> wenn jemand an der Stelle eine passende Formel nennen
> könnte, oder einfacher: einen dirketeren unkomplizierten
> Lösungsweg kennt ;)
der Umformungsschritt (1) ist begründbar:
Wegen $B=(B [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A^c)\,,$ [/mm] unter Beachtung, dass das eine disjunkte Vereinigung ist, folgt
$$P(B )=P(B [mm] \cap [/mm] A)+P(B [mm] \cap A^c)\,$$
[/mm]
was äquivalent zu
$$P(B [mm] \cap A^c)=P(B)-P(B \cap [/mm] A) [mm] \underset{hier}{=}3/10-1/10=2/10=1/5$$
[/mm]
ist.
Ergänzung:
Dass $B=(B [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A^c)$ [/mm] gilt, ist sehr einfach mengentheoretisch beweisbar:
Weil sowohl $B [mm] \cap [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B$ als auch $B [mm] \cap A^c \subseteq [/mm] B$ gilt, ist auch die Vereinigung $(B [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A^c)$ [/mm] eine (nicht notwendig echte) Teilmenge von [mm] $B\,.$
[/mm]
Andererseits gilt für ein Element [mm] $b\,$ [/mm] aus [mm] $B\,,$ [/mm] dass entweder $b [mm] \in [/mm] A$ oder $b [mm] \notin A\,,$ [/mm] so dass $B [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A^c)\,.$
[/mm]
Die Disjunktheit von $B [mm] \cap [/mm] A$ und $B [mm] \cap A^c$ [/mm] steckt in obiger Argumentation eigentlich schon drin, aber man kann es auch nochmal separat erklären:
Wenn $b [mm] \in [/mm] B [mm] \cap A\,,$ [/mm] dann ist $b [mm] \in [/mm] B$ und $b [mm] \in A\,,$ [/mm] so dass $b [mm] \in A^c$ [/mm] nicht mehr gelten kann (sonst würde ja $b [mm] \notin [/mm] A$ gelten). Wäre nun $b [mm] \in [/mm] B [mm] \cap A^c\,,$ [/mm] so folgte aber eben der Widerspruch $b [mm] \in A^c$ [/mm] wegen $B [mm] \cap A^c \subseteq A^c\,.$
[/mm]
Also:
$$b [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] A$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] b [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap A^c\,.$$
[/mm]
Da für Mengen [mm] $X,\,Y$ [/mm] gilt $X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset \gdw \not\exists\; [/mm] x [mm] \in [/mm] X: x [mm] \in [/mm] Y [mm] \;\;(\gdw \not\exists\; [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: y [mm] \in [/mm] X) [mm] \;\;\gdw \forall\; [/mm] x [mm] \in [/mm] X: x [mm] \notin Y\;\;(\gdw \forall\; [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: y [mm] \notin [/mm] X)$ haben wir die Disjunktheit der Vereinigung rechterhand des Gleichheitszeichen (erneut) begründet.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]P(A) = \frac{3}{5}, \; P(B) = \frac{3}{10}, \; P(A \cap B) \;=\; \frac{1}{10}[/mm]
>
> Berechne [mm]P(A\cup B^c)[/mm]
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> Eigentlich sollte das ja nicht schwer sein, mir fällt nur
> leider keine geeignete Termumformung ein. :(
>
> Ich habe das ganze mal aufgemalt und bin zu dem Schluss
> gekommen, dass
> [mm]P(A\cup B^c) = P(B^c) + P(A\cap B)[/mm]
>
> gilt.
auch das läßt sich leicht herleiten, wenn man
$$A [mm] \cup B^c=(A \cap [/mm] B) [mm] \cup B^c$$
[/mm]
beachtet (Beweis?). Die rechte Seite ist dabei wegen $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B$ und der offensichtlichen Beziehung $B [mm] \cap B^c=\emptyset$ [/mm] eine disjunkte Vereinigung.
Übrigens hast Du diese Beziehung dann quasi auf zwei Wegen gezeigt, denn:
Wie eben gesehen gilt mit de Morgan
$$P(A [mm] \cup B^c)=1-(P(B)-P(A \cap [/mm] B))=(1-P(B))+P(A [mm] \cap B)\,,$$
[/mm]
und rechterhand kann man nun [mm] $P(B^c)=1-P(B)$ [/mm] benützen.
Gruß,
Marcel
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