Was bedeutet "konsistent"? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Teilmenge T [mm] \subset [/mm] M (M Mannigfaltigkeit) hat maß null, falls für jede koordinatenabbildung x gilt:
x(T) [mm] \subset \IR^n [/mm] hat maß null.
Zeige, dass die Definition konsistent ist und dass es ausreicht, obige Bedingung für einen Atlas zu zeigen. |
Also ich verstehe nicht so recht, was mit konsistent gemeint ist. Meine erste Vermutung war, dass es unabhängig von der Wahl der Abbildung x ist. Also falls x(B) Nullmenge, so auch y(B). Aber das ist doch bereits per definition der Fall oder?
Liebe Grüße
r.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:17 Mi 29.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> Meine erste Vermutung war, dass es unabhängig
> von der Wahl der Abbildung x ist. Also falls x(B)
> Nullmenge, so auch y(B). Aber das ist doch bereits per
> definition der Fall oder?
Jupp. Da hat wohl der Aufgabensteller nicht gemerkt, dass die Definition eh schon zu allgemein und unabhängig von einer konkreten Kartenabbildung ist.
Der zweite Teil ist viel interessanter.
SEcki
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Hmmm. Eventuell ist mit konsistent auch gemeint, dass falls B eine Nullmenge ist bzgl. einem Koordinatensystem, so auch bezüglich jedem anderen Koordinatensystems.
Obwohl das dasselbe wäre wie die 2. Behauptung, nämlich dass es ausreicht, dies für einen gegebenen Atlas zu zeigen.
Wenn ich mich nicht täuche, so folgt dies doch daher, dass die Koordinatenwechsel diffeomorphismen sind und Nullmengen unter diffeomorphismen auf Nullmengen abgebildet werden.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 30.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich mich nicht täuche, so folgt dies doch daher, dass
> die Koordinatenwechsel diffeomorphismen sind und Nullmengen
> unter diffeomorphismen auf Nullmengen abgebildet werden.
Jupp. Wenn das alles schon bekannt ist.
SEcki
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