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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 15.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Mengen
[mm] $A:=\{0\}\times [-1,0]\subset \mathbb{R}^2$ [/mm] und [mm] $B:=\{(x,sin(1/x))^t\in \mathbb{R}^2|x>0\}$
[/mm]
Zeigen Sie, die Menge [mm] $A\cup [/mm] B$ ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe.
Als Hinweis ist gegeben, dass man die Mengen A und B zu erst seperat prüfen soll ob sie zusammenhängend sind.
Dies erfordert aber eigentlich überhaupt keine Mühe, denn A ist ein Intervall auf der y-Achse und diese sind bekanntlich zusammenhängend und sin(1/x) ist wegzusammenhängend, und damit auch zusammenhängend, weil ich ja einfach als stetige Kurve, die Funktion selbst angeben kann, oder?
Hier habe ich erst einmal eine Frage zu der Definition von Wegzusammenhängend.
Dies ist so definiert, dass wir für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$ eine Kurve [mm] c:[0,1]\to [/mm] X gibt mit $c(0)=x$ und $c(1)=y$.
Meine Frage ist, ob das angegebene Intervall eine Rolle spielt? Denn oben habe ich ja das Intervall [mm] $(0,\infty)$.
[/mm]
Wenn ich nun zeigen wollte, dass [mm] $A\cup [/mm] B$ nicht wegzusammenhängend ist, dann würde ich gerne zeigen, dass es keine stetige Abbildung gibt, aber müsste ich dann auch c(0)=x und c(1)=y nehmen?
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Hi,
> Betrachten Sie die Mengen
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> [mm]A:=\{0\}\times [-1,0]\subset \mathbb{R}^2[/mm] und
> [mm]B:=\{(x,sin(1/x))^t\in \mathbb{R}^2|x>0\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, die Menge [mm]A\cup B[/mm] ist zusammenhängend, aber
> nicht wegzusammenhängend.
> Hi,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe.
> Als Hinweis ist gegeben, dass man die Mengen A und B zu
> erst seperat prüfen soll ob sie zusammenhängend sind.
> Dies erfordert aber eigentlich überhaupt keine Mühe, denn
> A ist ein Intervall auf der y-Achse und diese sind
> bekanntlich zusammenhängend und sin(1/x) ist
> wegzusammenhängend, und damit auch zusammenhängend, weil
> ich ja einfach als stetige Kurve, die Funktion selbst
> angeben kann, oder?
Die Frage ist, was ihr schon alles in der Vorlesung bewiesen habt. Also, was du benutzen darfst. Ansonsten ist alles recht klar.
Beide Teilmengen sind wegzusammenhängend, also auch zusammenhängend.
>
> Hier habe ich erst einmal eine Frage zu der Definition von
> Wegzusammenhängend.
>
> Dies ist so definiert, dass wir für alle [mm]x,y\in X[/mm] eine
> Kurve [mm]c:[0,1]\to[/mm] X gibt mit [mm]c(0)=x[/mm] und [mm]c(1)=y[/mm].
> Meine Frage ist, ob das angegebene Intervall eine Rolle
> spielt? Denn oben habe ich ja das Intervall [mm](0,\infty)[/mm].
Das Intervall der Funktion hat erst einmal nichts mit dem Intervall der Kurve zu tun.
Das Wichtige ist eben wirklich, dass es einen Weg für alle Elemente in der Menge gibt, der in der Menge verläuft und die Punkte verbindet.
Schöne Gebiete sind z.B. auch sternförmige Gebiete. Gerade in Richtung Differentialformen sind solche Mengen sehr angenehme.
Für deine Aufgabe ist letztlich:
[mm] A\cup{B} [/mm] ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
Das beides ist zu zeigen.
Für den wegzusammenhang: Man könnte zwei Punkte nehmen, vorzugsweise eben ein [mm] x\in{A} [/mm] und ein [mm] y\in{B} [/mm] und dann zeigen, dass es keinen Weg gibt.
Für den Zusammenhang: Zeige dies einfach mit der Definition des Zusammenhangs.
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> Wenn ich nun zeigen wollte, dass [mm]A\cup B[/mm] nicht
> wegzusammenhängend ist, dann würde ich gerne zeigen, dass
> es keine stetige Abbildung gibt, aber müsste ich dann auch
> c(0)=x und c(1)=y nehmen?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:01 Sa 17.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Das die Menge zusammenhängend ist habe ich "gezeigt" indem ich die Folge
[mm] $a_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$ [/mm] genommen habe. Diese konvergiert gegen Null, aber der Sinus ist für diese Folge immer 1. Das heißt, dass sie gegen den Punkt (0,1) konvergiert und ich somit immer in einer Epsilon Umgebung der y-Achse liege, womit meine Mengen zusammenhängend sind. So habe ich jedenfalls dabei gedacht.
Zu zeigen, dass die einzigen Teilmengen welche offen und abgeschlossen sind die Menge selbst ist und die leere Menge, habe ich nicht geschafft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 19.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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