Weg im Gitternetz, Kombinator. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Begründe die Anzahl der kürzesten Wege entlang der Gitterlinien von A nach B.
Gegeben ist ein Gitternetz. A(0,0) und B(1,4) bzw B=(3,2)
a) Wie viele Wege führen von A nach B?
b)Wie viele Wege führen über den Punkt C=(1,1)?
c) verallgemeine die Lösung aus a) und b) für dne Fall eines Punktes B mit den Koordinaten (n,m) |
Ich denke, hier muss ich wieder den Binomialkoeffizienten anwenden.
Wenn A=(0,0) und B=(1,4) ist dann ist die anzahl der wege:
[mm] \vektor{m+n \\ m}=\bruch{(m+n)!}{m!*n!}=\bruch{5!}{1!*4!}=\bruch{5!}{4!}=5
[/mm]
Wenn A=(0,0) und B=(3,2) ist dann ist die anzahl der wege:
[mm] \vektor{m+n \\ m}=\bruch{(m+n)!}{m!*n!}=\bruch{5!}{2!*3!}=\bruch{5!}{12!}
[/mm]
[mm] =\vektor{5 \\ 3}=10 [/mm]
b)Über Punkt C=(1,1) gehen jeweils 2 Wege aber wie genau ich das mit Binomialkoeffizient berechne bin ich mir unsicher.
c) verallgemeinern kann ich ja wie schon in a) gezeigt. [mm] \vektor{m+n \\ m}=\bruch{(m+n)!}{m!*n!} [/mm] richtig?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 18.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, [mm] \vektor{m+n \\ m} [/mm] ist richtig. Bei der a) ist noch ein "!" zu viel hinter der 12, aber ansonsten stimmt alles.
Wenn der Weg über C gehen soll, dann kannst du doch folgendes machen: Rechne die Anzahl der Wege aus, die von A nach C führen. Danach alle Wege, die von C nach B führen. Was musst du dann mit den beiden Ergebnissen tun?
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Danke für deine Antwort! Ach das ist möglich von A nach C und dann von C nach B? Das hatte ich mir erst überlegt, war mir aber sehr unsicher. Ich müsste die Möglichkeiten der beiden Wege multiplizieren??
MfG
Mathegirl
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Ich bin mir grad nicht mehr sicher, wie ich den Weg von A(0,0) über C(1,1) nach B(1,4) berechne.
von A(0,0) nach C(1,1) ist klar, das ist 2!=2 Aber wie komme ich jetzt von C(1,1) nach B(1,4)? Es geht ja um die anzahl der kürzesten Wege, und da gibt es ja eigentlich nur eine Möglichkeit. Aber laut "Formel" Wäre das ja
[mm] \bruch{3!}{0!}
[/mm]
Könnt ihr mir hier weiter helfen?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Keine Panik, du hast nur etwas in der Formel vergessen! Ansonsten sind deine Überlegungen alle richtig. Kürzeste Wege von C(1,1) nach B(m,n) gibt es ja [mm] \vektor{(m-1)+(n-1) \\ (m-1)!}=\frac{(m+n-2)!}{(m-1)!*(n-1)!}, [/mm] wenn wir mal von [mm] $m,n\ge1$ [/mm] ausgehen. Daraus kommt man, indem man einfach überall 1 von jeder Koordinate von C und B abzieht, damit C in (0,0) landet und man die erste Formel benutzen kann. Aber das hast du glaube ich sowieso schon selbst gesehen.
Das Problem ist nur, dass du im Nenner nur (m-1)! stehen hast aber das (n-1)!=(4-1)!=3! vergessen hast. Von daher liefert die Formel auch genau [mm] \frac{3!}{0!*3!}=1.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau so, das ist richtig!
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