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Wende- und Extrempunkte: Aufgabe & Frage zur Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 So 11.06.2006
Autor: Jumi

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f und g mit
f(x)= - cos (2x)+ 0,5x+1  und g(x)=0,5x+1 mit -1  [mm] \le [/mm] x  [mm] \le [/mm] 2,5.

Ihre Schaubilder sind Kf und Kg.
Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von Kf und zeichnen Sie die Schaubilder Kf und Kg in ein geeignetes Koordinatensystem.

Hallo,

"Oben" steht die gesammte Aufgabe, ich habe eine Frage zu den Extrempunkten und zu den Wendepunkten.

"Meine" Ableitungen sind folgende:

f'(x)= 2 sin (2x)+0,5
f''(x)= 4 cos (2x)
f'''(x)= -8sin(2x)

Nun habe ich zuerst die Hoch- und Tiefpunkte berechnet:

f'(x) = 0
2sin (2x) + 0,5 = 0
2 sin (2x) = -0,5
sin (2x) = -0,25 (Sinus Invers mit TR)
2x = - 0,25
x = - 0,13

x in f''(x)
f(-0,13)= 4 cos (2*-o,13) = 3,87  [mm] \ge [/mm] 0 = Tiefpunkt

x in f(x)
f(-0,13)= -cos (2+-0,13) + 0,5*-0,13 + 1 = -0,03
Tiefpunkt ( -0,13/-0,03)

Laut den dazugehörigen Lösungen stimmt dieser Tiefpunkt. Auf dem Blatt stehen leider jedoch keine genauen Lösungswege und nun die Frage:
Warum rechnen die 2x  [mm] \approx \pi [/mm] + 0,25  [mm] \Rightarrow [/mm] X2  [mm] \approx [/mm] 1,70 ?
X1 ist wie auch in meiner Lösung -0,13 , aber wie komme ich auch X2 ?
Dies ist ja der Wert den ich zum berechnen des Hochpunktes brauche, oder? Laut Lösung ist der Hochpunkt nämlich (1,70/2,82).
Ist die 0,25 die Zahl (-0,25) aus der obenstehenden Rechnung ?
Wenn ja, warum ändere ich das Vorzeichen ? Und warum nehme ich gerade diese Zahlt und nicht -0,13 ?

Beim Wendepunkt kmme ich auch nicht weiter.
f''(x) = 4 cos (2x) = 0
da kommt dann raus
x= 0,79

in f'''(x) eingesetzt ergibt, dass - 7,99  [mm] \not= [/mm] 0
f(-0,79)= -cos (2*0,79) +0,5*0,79+1= 1,40


Das kann, aber ganz und gar nicht stimmen.
Die Lösung ist:
cos (2x) = o
X1= -  [mm] \pi/4 [/mm] V X2=  [mm] \pi/4 [/mm] V X3= 3/4 [mm] \pi [/mm]
f'''(x1)= f'''(x3)= -8 [mm] \not= [/mm] 0, f'''(x2)= 8 [mm] \not= [/mm] 0

W1 (-0,79/0,61), W2(0,79/1,39), W3(2,36/2,17)

Wie komme ich auf die Lösungen ? Rechne ich da "einfach" immer eine Periode weiter bis zum Ende des Definitionsbereiches ?


Auch verstehe ich die Formel nicht zu den Hoch- und Tiefpunkten.

Sinus
Hochpunkte
x=  [mm] \pi/2 [/mm] + Z *2 [mm] \pi [/mm]

Tiefpunkte
x= 3/2 [mm] \pi [/mm] + Z*2 [mm] \pi [/mm]

Cosinus
Hochpunkte
X= Z* 2 [mm] \pi [/mm]

Tiefpunkte
x=  [mm] \pi [/mm] + Z + 2 [mm] \pi [/mm]

Kann mir die "kurz" jemand erklären ?

Vielen Dank im Vorraus und liebe Grüße
Jumi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Wende- und Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 So 11.06.2006
Autor: Sigrid

Hallo Jumi,

Herzlich [willkommenmr]

> Gegeben sind die Funktionen f und g mit
>  f(x)= - cos (2x)+ 0,5x+1  und g(x)=0,5x+1 mit -1  [mm]\le[/mm] x  
> [mm]\le[/mm] 2,5.
>  
> Ihre Schaubilder sind Kf und Kg.
>  Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von Kf und
> zeichnen Sie die Schaubilder Kf und Kg in ein geeignetes
> Koordinatensystem.
>  Hallo,
>  
> "Oben" steht die gesammte Aufgabe, ich habe eine Frage zu
> den Extrempunkten und zu den Wendepunkten.
>  
> "Meine" Ableitungen sind folgende:
>  
> f'(x)= 2 sin (2x)+0,5
> f''(x)= 4 cos (2x)
>  f'''(x)= -8sin(2x)
>  
> Nun habe ich zuerst die Hoch- und Tiefpunkte berechnet:
>  
> f'(x) = 0
>  2sin (2x) + 0,5 = 0
> 2 sin (2x) = -0,5
> sin (2x) = -0,25 (Sinus Invers mit TR)
>  2x = - 0,25
>  x = - 0,13
>  
> x in f''(x)
>  f(-0,13)= 4 cos (2*-o,13) = 3,87  [mm]\ge[/mm] 0 = Tiefpunkt
>  
> x in f(x)
>  f(-0,13)= -cos (2+-0,13) + 0,5*-0,13 + 1 = -0,03
>  Tiefpunkt ( -0,13/-0,03)
>  
> Laut den dazugehörigen Lösungen stimmt dieser Tiefpunkt.
> Auf dem Blatt stehen leider jedoch keine genauen
> Lösungswege und nun die Frage:
>  Warum rechnen die 2x  [mm]\approx \pi[/mm] + 0,25  [mm]\Rightarrow[/mm] X2  
> [mm]\approx[/mm] 1,70 ?
>  X1 ist wie auch in meiner Lösung -0,13 , aber wie komme
> ich auch X2 ?

Es gilt die Formel:

$ [mm] \sin [/mm] x = [mm] \sin(\pi [/mm] - x) $

also

$ [mm] \sin(-0,25) [/mm] = [mm] \sin(\pi [/mm] - (-0,25)) $

>  Dies ist ja der Wert den ich zum berechnen des Hochpunktes
> brauche, oder?

genau!

> Laut Lösung ist der Hochpunkt nämlich
> (1,70/2,82).
>  Ist die 0,25 die Zahl (-0,25) aus der obenstehenden
> Rechnung ?
>  Wenn ja, warum ändere ich das Vorzeichen ? Und warum nehme
> ich gerade diese Zahlt und nicht -0,13 ?
>  
> Beim Wendepunkt kmme ich auch nicht weiter.
>  f''(x) = 4 cos (2x) = 0
>   da kommt dann raus
>  x= 0,79
>  
> in f'''(x) eingesetzt ergibt, dass - 7,99  [mm]\not=[/mm] 0
>  f(-0,79)= -cos (2*0,79) +0,5*0,79+1= 1,40

Du meinst:
$ f(0,79)= -cos (2*0,79) +0,5*0,79+1= 1,40 $

>
> Das kann, aber ganz und gar nicht stimmen.
> Die Lösung ist:
>  cos (2x) = o
>  X1= -  [mm]\pi/4[/mm] V X2=  [mm]\pi/4[/mm] V X3= 3/4 [mm]\pi[/mm]
>  f'''(x1)= f'''(x3)= -8 [mm]\not=[/mm] 0, f'''(x2)= 8 [mm]\not=[/mm] 0
>  
> W1 (-0,79/0,61), W2(0,79/1,39), W3(2,36/2,17)

Den 2. Wert bekommst du über die Formel

$ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \cos(-x) [/mm] $


Den 3. über die Formel:

$ [mm] \cos(\pi [/mm] - x) = [mm] \cos(\pi+x) [/mm] $

>  
> Wie komme ich auf die Lösungen ? Rechne ich da "einfach"
> immer eine Periode weiter bis zum Ende des
> Definitionsbereiches ?

Du bist bei der ersten Addition schon über D hinaus. Du musst dir mal ansehen, was es sonst noch für Formeln gibt.

Gruß
Sigrid

>  
>
> Auch verstehe ich die Formel nicht zu den Hoch- und
> Tiefpunkten.
>  
> Sinus
>  Hochpunkte
> x=  [mm]\pi/2[/mm] + Z *2 [mm]\pi[/mm]
>  
> Tiefpunkte
>  x= 3/2 [mm]\pi[/mm] + Z*2 [mm]\pi[/mm]
>  
> Cosinus
>  Hochpunkte
>  X= Z* 2 [mm]\pi[/mm]
>  
> Tiefpunkte
>  x=  [mm]\pi[/mm] + Z + 2 [mm]\pi[/mm]
>  
> Kann mir die "kurz" jemand erklären ?
>  
> Vielen Dank im Vorraus und liebe Grüße
>  Jumi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  

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