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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Vilinja |
| Aufgabe | Bestimme den Wertebereich der Funktion
f(x) = [mm] \bruch{4x+7}{x²+2x+2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab überhaupt keine richtige Ahnung wie ich an die Sache rangehen soll...
Der Definitionsbereich sind ja alle reellen Zahlen (oder?) nur wie bekomm ich den Wertebereich raus?
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Hallo,
dein Definitionsbereich ist ganz [mm] \IR, [/mm] das stimmt. Das Nennerpolynom hat in [mm] \IR [/mm] nämlich keine Nullstellen. Nun zum Wertebereich.
Dafür würde ich mir mal die Hoch-und Tiefpunkte angucken. Wenn du dir mal den Graphen anschaust, dann siehst du nämlich, dass bei y=4 ein Hochpunkt und bei y=-1 ein Tiefpunkt liegt. Diese sind sogar absolute, d.h. im ganzen Definitionsbereich die höchsten bzw. niedrigsten Punkte. Um das zu zeigen, betrachtest du einfach die folg. Grenzwerte und rechnest sie aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)
[/mm]
Diese sind beide null (Tipp: [mm] x^{2} [/mm] ausklammern und kürzen. Das gibt lauter Nullfolgen oder die Regeln von del'Hospital anwenden, wenn du diese kennst.)!
Der Wertebereich ist dann [mm] W=(y|-1\le y\le4)\subset\IR
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Vilinja |
Äh, wie kommst du jetzt darauf, dass bei 4 und -1 ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist?
Die Grenzwerte sind null, das ist mir klar, aber was hat das nun mit dem Wertebereich zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vilinja,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die x-Werte bzw. y-Werte der Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkt) hat mathmetzsch durch eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung: [mm] $f'(x_e) [/mm] \ =\ 0$ ) ermittelt.
Was das mit dem Wertebereich zu tun hat? Was gibt denn der Wertebereich an? Das ist doch die Menge aller y-Werte der Funktion, die durch diese Funktion angenommen werden können.
Durch Kenntnis der Hoch- und Tiefpunkte (einschließlich der Funktionswerte) kenne ich schon einmal einen Bereich, der durch diese Funktion (mind.) erreicht wird; nämlich: [mm] $y_{\min} [/mm] \ = \ -2 \ [mm] \le [/mm] \ y \ [mm] \le [/mm] \ +4 \ = \ [mm] y_{\max}$ [/mm] .
Nun muss zusätzlich untersucht werden, wie sich die Funktion an den Rändern des Definitionsbereiches verhält. In diesem Fall heißt "Ränder des Definitionsbereiches [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] .
Daher die oben angegebene Grenzwertbetrachtungen ...
Da diese beiden Grenzwerte ebenfalls innerhalb des o.g. Intervalles zwischen den beiden Extrema [mm] $y_{\min} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ y \ [mm] \le [/mm] \ [mm] y_{\max}$ [/mm] liegen, handelt es sich bei diesem Intervall auch um unseren gesuchten Wertebereich der Funktion.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Vilinja |
Ab dem 2. Abschnitt versteh ich es.
Aber das mit den Extremwerten nicht. Was ist eine 1. Ableitung? Wie macht man so was? Hab ich noch nie davon gehört...
Okay, ich habe gerade in meinem Mathebuch nachgeschaut, das machen wir wohl erst später.
Kann man die Werte noch anders rausbekommen?? Unser Lehrer kann uns doch nicht Aufgaben stellen, die wir nicht lösen können?
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Hallo,
man könnte noch den Definitionsbereich der Umkehrfunktion betrachten. Diese auszurechnen, ist aber in diesem Fall auch nicht so einfach. Dann zeichne dir einfach den Graphen und argumentiere mit dem Grenzwerten oben! Die max. bzw. minimalen Funktionswerte kannst du ja da ablesene!
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Vilinja |
Ok, dankeschön!
Wenn ich dann noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe hab, muss ich dann einen neuen Strang aufmachen oder?
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Hi,
ja das ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit besser!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Arkus |
Hmm also Zeichnung hat die Funktion bei -3 einen Tiefpunkt und bei -0,5 einen Hochpunkt, er meint sicherlich die y-Werte 
Denn das haut hin
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Hallo Arkus,
vielleicht liest du noch mal meine Antwort. Ich habe y=-1 und y=4 geschrieben und damit stimmt das wohl! Schließlich hat ein Punkte zwei Koordinaten. Die x-Koordinaten sind aber für den Wertebereich ziemlich uninteressant!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Arkus |
oh *verzeih* du hast recht ^^
*meine brille such*
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